Op 10 juni 2000 werd in Londen de Millenniumbrug geopend. Zie figuur 1.
Deze hangbrug werd al na drie dagen gesloten. Als er veel mensen op de brug liepen, begon het deel van de brug tussen de pijlers te trillen.
Eerst trilde de brug nog nauwelijks, maar doordat er steeds meer mensen in hetzelfde ritme over de brug gingen lopen als waarmee de brug trilde, werd het trillen van de brug steeds erger.
Opgaven
a) Hoe heet dit natuurkundig verschijnsel?
Om problemen te voorkomen werd de brug gesloten. Technici deden daarna verschillende testen. Het lukte hen om het wegdek tussen de pijlers van de brug een horizontale staande golfbeweging te laten uitvoeren. Van deze staande golfbeweging is op vijf verschillende tijdstippen een bovenaanzicht getekend. Zie figuur 2.
De trillingstijd van deze golfbeweging is 0,90 s.
De lengte van het deel van het wegdek dat trilt is 144 m. Figuur 2 is niet op schaal.
b) Bereken de golfsnelheid in het wegdek.
Karen (K), Linda (L) en Maureen (M) stonden tijdens deze test op de brug. Zie figuur 3.
De beweging van Karen is in een (u,t)-diagram in figuur 4 weergegeven met de letter K.
c) Schets in een print van figuur 4 de uitwijking als functie van de tijd voor Linda (L) en voor Maureen (M). Geef duidelijk aan welke functie bij Linda hoort en welke bij Maureen.
In figuur 5 is een spankabel van de brug getekend waaraan een gedeelte van het wegdek hangt. In punt A van de spankabel werkt een kracht van 18 kN verticaal omlaag.
d) Bepaal met behulp van een print van figuur 5 de grootte van de spankracht in de spankabel.
Voor de trillingstijd T van een brug geldt:
T = k (m)1/2
Hierin is m de massa van het middendeel van de brug en is k een constante. Voor deze brug is de massa van het middendeel 288 ton.
De frequentie waarmee de brug trilt, kan worden verlaagd door extra massa aan het middendeel van de brug te bevestigen. Iemand stelde voor om zo de eigenfrequentie van de brug drie keer zo klein te maken. De ingenieurs veegden dit voorstel echter direct van tafel.
e) Bereken de extra massa (in ton) die nodig geweest zou zijn om de frequentie waarmee de brug kan trillen drie keer zo klein te maken.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Resonantie.
Uitwerking vraag (b)
De frequentie is:
f = 1 / T = 1 / 0,90 = 1,111 Hz
In figuur 2 zie je dat er precies 1 golflengte in de gehele lengte van de brug past. De golflengte is dus 144 m. Dit geeft voor de golfsnelheid:
v = λf = 144 * 1,111 = 160 = 1,6 * 102 m
Uitwerking vraag (c)
Linda staat op elk tijdstip stil. Als Karen een maximale uitwijking naar links heeft, heet Maureen een maximale uitwijking naar rechts. Dit geeft onderstaande figuur:
Uitwerking vraag (d)
De verticale kracht omlaag is 18 kN. In mijn print is deze kracht 3,6 cm lang. In de tekening komt dan dus 1 cm overeen met 18 / 3,6 = 5 kN.
Door de kracht te ontbinden vind je de twee componenten van de spankracht. In mijn print had de vector van de spankracht een lengte van 10,5 cm. Dit komt overeen met 10,5 * 5 = 53 kN. Zie onderstaande figuur.
Let op: als je zelf een print van de figuur maakt kunnen de afmetingen net iets anders zijn. Je komt dan niet uit op 3,6 cm en 10,5 cm. Het eindantwoord zal wel hetzelfde moeten zijn.
Uitwerking vraag (e)
Je wilt een drie keer zo kleine frequentie krijgen. De trillingstijd moet dan dus 3 keer zo groot zijn. Aangezien de trillingstijd volgens de formule afhangt van de wortel van de massa, moet de massa dan zelfs 9 keer zo groot worden: 9 * 288 = 2592 ton.
De extra massa is dan:
2592 - 288 = 2304 = 2,30 * 103 ton
