Fermi onderzoekt de cirkelbeweging van een kegelslinger. Daarvoor laat hij met de hand een voorwerp aan een touw vlak boven de vloer ronddraaien. Na enige oefening lukt het om het voorwerp een eenparige cirkelbeweging te laten maken. Zie figuur 1. In de foto is de cirkelbaan van het voorwerp getekend.
In figuur 2 is de kegelslinger schematisch getekend. M is het middelpunt van de cirkelbaan, h de hoogte van de kegelslinger (de afstand TM) en l de lengte van het touw. De pijl die naar M wijst, stelt de middelpuntzoekende kracht op het voorwerp voor.
Opgaven
a) Teken in figuur 2 de krachten die samen de middelpuntzoekende kracht leveren. Let daarbij zowel op de richting als de lengte van de vectoren.
De lengte van het touw is 1,2 m. Fermi laat het voorwerp 30 rondjes beschrijven. Hij meet voor deze 30 rondjes een tijd van 59,4 s. De hoogte h = 1,0 m. De massa van het voorwerp is 50 g.
b) Bereken de middelpuntzoekende kracht die dan op het voorwerp werkt.
Als Fermi het voorwerp sneller ronddraait, wordt de kegel wijder en dus h kleiner. Fermi onderzoekt het verband tussen de omlooptijd T en de kegelhoogte h. Zijn metingen staan in de tabel hieronder (figuur 3).
In een theorieboek staat dat voor de kegelslinger geldt: T2 = Ch, waarin C een constante is. Om te controleren of zijn metingen in overeenstemming zijn met de theorie maakt Fermi met Excel de grafiek die is afgebeeld in figuur 4.
c) Uit welke eigenschapen van de grafiek blijkt dat de grafiek in overeenstemming is met de theorie?
d) Bepaal de waarde en de eenheid van de constante C.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
figuur 5
Er werken twee krachten op het voorwerp: de zwaartekracht, die omlaag is gericht en de kracht die het touw op het voorwerp uitoefent die in de richting van het touw (naar boven) wijst. Deze twee krachten opgeteld zijn in dit geval de middelpuntzoekende kracht.
Uitwerking vraag (b)
Er zijn twee manieren om deze kracht te berekenen:
1. Met de formule Fmpz = mv2 / r. De massa is gegeven: m = 0,050 kg en de snelheid kunnen we berekenen: v = 2πr / T. Hierin is r de straal die we berekenen met de stelling van Pythagoras: r = sqrt(l2 - h2) = sqrt(1,22 - 1,02) = 0,663 m. De omlooptijd T van het voorwerp is: totale tijd / aantal rondjes = 59,4 / 30 = 1,98 s. Nu kunnen we r en T invullen in de formule van v: v = 2πr / T = 2π · 0,663 / 1,98 = 2,10 m/s. We hebben alle gegevens om de kracht te berekenen: Fmpz = mv2 / r = 0,050 · (2,10)2 / 0,663 = 0,33 N.
2. Een andere methode is het gebruiken van hoeken: Voor de tophoek geldt volgens de stelling van Phythagoras: cosα = aanliggende zijde / schuine zijde = h / l = 1,0 / 1,2 = 0,833, dus α = 33,6º. Door nu naar de figuur met de krachten erin te kijken, kunnen we met de overstaande zijde (Fmpz) en de aanliggende zijde (Fz) de gevraagde kracht Fmpz berekenen: tanα = overstaande zijde / aanliggende zijde = Fmpz / Fz. We hadden α al berekend, dus weten we dat tan α = 0,664. Verder hebben we nog de zwaartekracht nodig: Fz = mg = 0,050 · 9,81 = 0,491 N. Nu kunnen we de middelpuntzoekende kracht berekenen door de formule tanα = Fmpz / Fz om te schrijven naar: Fmpz = Fz · tanα = 0,491 · 0,664 = 0,33 N.
Uitwerking vraag (c)
De grafiek is een rechte lijn en gaat door de oorsprong.
(Uitleg: In de grafiek is h op de x-as uitgezet tegen T2 op de y-as. Dit komt overeen met de theorie, omdat je dit ook aan de formule T2 = Ch kunt zien:
T2 is een constante keer h, dus als h 2x zo groot wordt, dan wordt T2 ook 2x zo groot. Dit betekent dat de grafiek een rechte lijn moet zijn.
Ook kunnen we aan de formule zien dat als h nul is, dat T2 ook nul is. Dit betekent dat de rechte lijn door de oorsprong moet gaan. )
Uitwerking vraag (d)
De waarde van C is ongeveer 3,9 en de eenheid is s2/m.
(Berekening van C: De constante C is gelijk aan de steilheid van de grafiek. Door het verschil tussen twee punten op de grafiek van T2 te delen door het verschil in h bij die twee punten, vinden we C, er geldt immers: C = T2 / h.
Nemen we bijvoorbeeld de twee punten (0,0) en (1,0;3,9) dan vinden we voor C: (3,9 - 0) / (1,0 - 0) = 3,9.)
(Bepaling van de eenheid: C = T2 / h. Deze formule kunnen we gebruiken om de eenheid van C te bepalen: [C] = [T]2 / [h] = s2/m.)
