Opgave
In Zeeland heeft een ingenieur een weg bedacht die de snelheid van auto's moet beperken: de kantelweg. Het wegdek loopt afwisselend naar links en naar rechts af waardoor het een golfachtige structuur heeft. De as van de weg loopt horizontaal.
Figuur 1 is een computertekening van de weg. Voor de duidelijkheid zijn de hoogteverschillen overdreven.
In figuur 2 is de dwarse stand van het wegdek getekend, met een vrachtwagen erop. De stippellijn geeft de stand van de weg iets verderop weer. De weg loopt naar de zijkant af met een hellingspercentage dat varieert van 0 tot 2,5%.
Het hellingspercentage is gedefinieerd als de sinus van de hellingshoek, vermenigvuldigd met 100%.
De breedte van de weg is 7,0 m.
a) Bereken het maximale hoogteverschil tussen de randen van de weg.
In figuur 3 zijn de weg en de vrachtwagen van opzij getekend.
Uit de figuren 1, 2 en 3 blijkt dat iemand die in de wagen zit, zowel op en neer als van links naar rechts en ook nog voorover en achterover beweegt.
De afstand tussen twee opeenvolgende hoogste punten noemen we d. Bij de kantelweg in Zeeland is d gelijk aan 10 meter.
Een auto rijdt met een snelheid van 60 km/h over de weg.
b) Bereken de frequentie van de op- en neergaande beweging.
Als gevolg van de schommelingen in drie richtingen kan de bestuurder van een auto op de kantelweg zich tamelijk onprettig gaan voelen. De mate van ongemak (discomfort) hangt af van de snelheid.
TNO kreeg de opdracht uit te zoeken wat een geschikte 'golflengte' (de afstand d in figuur 3) is om automobilisten te 'dwingen' 40 km/h of langzamer te rijden.
In figuur 4 zijn de resultaten van het onderzoek voor een personenauto weergegeven. In dit diagram is aangegeven hoe het ongemak van een automobilist afhangt van de golflengte van de weg en de snelheid van de auto.
Op grond van de onderzoeksresultaten concludeerde TNO dat de meest geschikte golflengtes liggen tussen 9 en 12 meter.
c) Noem twee argumenten waarom een golflengte van 7 meter minder voldoet dan de door TNO geadviseerde golflengtes.
Een personenauto met bestuurder heeft een massa van 1,2·103 kg.
De stugheid van de veren van de auto wordt bepaald door hun veerconstante.
Voor deze auto bedraagt de veerconstante van alle wielveren samen 2,1·105 N/m.
d) Bereken de eigenfrequentie van de auto.
e) Leg uit dat er een gevaarlijke situatie kan ontstaan als de frequentie waarmee de auto gaat trillen door het rijden op de kantelweg, gelijk wordt aan de eigenfrequentie van de auto.
Uitwerking vraag (a)
- Het maximale hellingspercentage is 2,5%. Dus de sinus van de hellingshoek is 0,025
- De sinus van de hoek is gelijk aan overstaande zijde gedeeld door de schuine zijde.
- De overstaande zijde is hier gelijk aan het hoogteverschil h en de schuine zijde is 7,0 m.
- Dus 0,025 = h/7,0, dus h = 7,0·0,025 = 0,18m.
Uitwerking vraag (b)
- Met 60 km/h rijdt de auto dus 60/3,6 = 16,7 m/s.
- De auto komt dus iedere 10/16,7 = 0,6 s een maximum tegen.
- De frequentie is dus 1/0,6 = 1,7 Hz.
Uitwerking vraag (c)
- Bij d = 7 m willen mensen of langzamer dan 30 km/h rijden, of harder dan 60 km/h.
- Beide eigenschappen zijn ongewenst.
Uitwerking vraag (d)
- De trillingstijd is T = 2π(m/F)1/2 = 2π(1,2·103/2,1·105)1/2 = 0,475 s.
- De frequentie is dus f = 1/T = 1/0,475 = 2,1 Hz.
Uitwerking vraag (e)
- Als de frequentie ongeveer gelijk wordt aan de eigenfrequentie van de auto, dan treedt er interferentie op.
- Hierdoor kunnen de veren van de auto een steeds grotere uitwijking krijgen waardor de auto ernstig kan beschadigen.
