Opgave
Een hogesnelheidstrein kan de afstand van 850 kilometer tussen München en Hamburg afleggen in 5 uur en 37 minuten.
a) Bereken de gemiddelde snelheid van deze trein op het traject München-Hamburg.
Als de trein bij een snelheid van 250 km/h een noodstop maakt, komt hij pas na 1,8 km tot stilstand. Neem aan dat de trein bij een noodstop eenparig vertraagt.
b) Bereken de vertraging bij een noodstop.
Werner hangt in de trein een ring aan een touwtje. Zolang de trein stilstaat of met een constante snelheid rijdt, hangt het touwtje verticaal naar beneden. Bij het optrekken en afremmen, maakt het touwtje een hoek met de verticaal. Gedurende enige tijd is de uitwijking van de ring in de rijrichting van de trein. Zie figuur 1.
c) Geef voor de situatie van figuur 1 aan of de trein optrekt, afremt of dat dit niet te bepalen is.
Uit de hoek α die het touwtje maakt met de verticaal, is de versnelling of vertraging van de trein te bepalen. Figuur 1 is op schaal. Op de ring werken twee krachten: de zwaartekracht Fz en de spankracht Fs in het touw. De vector Fz is al getekend. De verticale component van Fs heft de zwaartekracht op. De massa van de ring is 92 gram.
d) Bepaal de versnelling of vertraging van de trein.
- Teken daartoe eerst in figuur 1 de spankracht Fs en de resulterende kracht Fres op de ring in de juiste verhouding tot de zwaartekracht.
- Laat alle krachten aangrijpen in het zwaartepunt Z.
Zodra de trein met constante snelheid rijdt, bevestigt Werner het touwtje aan een vast punt P, dat precies boven de rand van een tafel bevindt. Hij laat de ring met een kleine uitwijking slingeren. Het touwtje raakt daarbij telkens de rand van de tafel. In figuur 2 zijn de uiterste standen van de slinger weergegeven. Deze figuur is niet op schaal. De ring slingert in 4,02 s drie keer heen en weer tussen de getekende uiterste standen. De slingerlengte onder de tafel is x. De totale slingerlengte vanaf punt P tot zwaartepunt Z van de ring is 65,0 cm.
e) Bereken x.
Uitwerking vraag (a)
- De trein legt 850 km af in 5 uur en 37 minuten.
- Dit zijn 5·60+37 = 337 minuten, oftewel 20220 seconden.
- Dus de gemiddelde snelheid is 850·1000/20220 = 42 m/s.
Uitwerking vraag (b)
- 250 km/h komt overeen met 250/3,6 = 69,4 m/s.
- De tijd die nodig is om te stoppen wordt gegeven door t = v/a.
- De afstand die in die tijd afgelegd wordt is s = 0,5·a·t2 = 0,5·v2/a.
- Dus omgeschreven is a = 0,5·v2/s = 0,5·69,42/1,8·103 = 1,3 m/s2.
Uitwerking vraag (c)
- De ring zal zijn snelheid willen behouden.
- De trein blijft in dit geval achter bij de ring, want de ring hangt voor op de trein.
- De trein is dus aan het vertragen.
Uitwerking vraag (d)
- De verhouding hoogte:breedte is 10:1
- Deze verhouding is gelijk aan de verhouding zwaartekracht:vertraging, dus a = 0,1·g = 0,1·9,81 = 0,98 m/s2.
Uitwerking vraag (e)
- De slingertijd is 4,02/3 = 1,34 s.
- De tijd van het rechter gedeelte is de halve slingertijd van een slinger met lengte 0,65 m: Trechts = 0,5·2·π·(l/g)1/2 = π·(0,65/9,81)1/2 = 0,81 s.
- De tijd van het linker gedeelte is dus 1,34 - 0,81 = 0,53 s.
- Dit komt overeen met een lengte x van x = g·(Tlinks/π)2 = 9,81·(0,53/π)2 = 0,28 m.
