Opgave
a) Ga met een berekening na of de gemiddelde snelheid van het zonnezeil ongeveer gelijk is aan die van een wandelaar, een brommer of een vliegtuig.
De wrijvingskracht op het zonnezeil hangt onder andere af van de dichtheid van de lucht. Op 680 km hoogte is de temperatuur 1,50·103 K en de druk 1,19·10-8 Pa. Op die hoogte heeft de lucht een zodanige samenstelling dat 1 mol een massa heeft van 16,2 gram.
b) Bereken de dichtheid van de lucht op 680 km hoogte.
De beweging van het zonnezeil wordt veroorzaakt door fotonen die tegen de reflecterende laag botsen. We beschouwen één van de fotonen die deze beweging veroorzaken. Neem aan dat dit foton loodrecht op het zonnezeil valt en in dezelfde richting terugkaatst als waar het vandaan is gekomen. Hierbij verandert de golflengte van het foton een klein beetje.
c) Leg uit of de golflengte van het foton na de botsing iets groter of iets kleiner geworden is.
We nemen voor het vervolg van de opgave aan dat de golflengteverandering van het foton verwaarloosbaar is. Een foton met een golflengte van 550 nm geeft een impulsverandering aan het zonnezeil van 2,41·10-27 Ns.
d) Leg dit aan de hand van een berekening uit. Gebruik daartoe de relatie van De Broglie.
De intensiteit van de zonnestraling vlakbij de aarde is 1,4·103 W/m2.
We gaan uit van de situatie waarbij de zonnestraling loodrecht invalt op alle vanen van het zonnezeil. Het zeil wordt opgevat als een cirkel waarbij de spleten tussen de vanen zijn te verwaarlozen. Zie figuur 1.
We gaan er bovendien van uit dat de energie en de impuls van alle fotonen in de zonnestraling gelijk zijn aan de energie en de impuls van een foton met een golflengte van 550 nm.
e) Bereken de totale kracht van de fotonen op het zonnezeil. Bereken daartoe eerst het aantal fotonen dat per seconde op het zonnezeil valt.
Helaas is het eerste zonnezeil bij de lancering op 21 juni 2005 verloren gegaan.
Uitwerking vraag (a)
- De maan is in anderhalf jaar te bereiken. Dit zijn 1,5·365·24·3600 = 4,7·107 s.
- De afstand aarde-maan is 384·106 m.
- De gemiddelde snelheid is dus 384·106/4,7·107 = 8,1 m/s = 29 km/h.
- Dit komt ongeveer overeen met de snelheid van een brommer.
Uitwerking vraag (b)
- De moleculaire dichtheid op 680 km hoogte wordt gegeven door n/V = p/(R·T) = 1,19·10-8/(8,31·1,5·103) = 9,55·10-13 Mol/m3.
- De massa van een mol lucht daar is 16,2 gram, dus de dichtheid is ρ = 16,2·10-3·n/V = 16,2·10-3·9,55·10-13 = 1,55·10-14 kg/m3.
Uitwerking vraag (c)
- De energie van het teruggekaatste foton is wat kleiner dan toen hij inviel.
- Een kleinere energie correspondeert volgens E = h·f met een kleinere frequentie
- Een kleinere frequentie correspondeert volgens f = c/λ met een grotere golflengte.
Uitwerking vraag (d)
- De impuls van een foton is p = h/λ (De Broglie).
- Het foton heeft na de botsing een tegengestelde impuls met dezelfde grootte. Hij geeft dus p = 2·h/λ = 2·6,63·10-34/550·10-9 = 2,41·10-27 aan het zeil mee.
- Dit klopt precies met de tekst.
Uitwerking vraag (e)
- Ieder foton heeft een energie van E = c·h/λ = 6,63·10-34·2,998·108/550·10-9 = 3,61·10-19 J.
- Op het zeil valt 1,4·103 W/m2 dus op het hele zeil valt 1,4·103·π152 = 9,90·105 J.
- Dit zijn dus 9,90·105/3,61·10-19 = 2,74·1024 fotonen per seconde.
- Per foton is de kracht F = Δp/Δt = 2,41·10-27·2,74·1024/1 = 6,6·10-3 N.
