In figuur 1 is een foto te zien van een inklapbare hijskraan.
De foto is gemaakt met een digitale camera met een lens van 62,7 dpt. De afstand van de hijskraan tot de (lens van de) camera bedroeg 30,0 m. Het beeld van de hijskraan is in de camera vastgelegd op een lichtgevoelige chip van 20,0 mm bij 15,0 mm. De foto is een afdruk van het hele beeld op de lichtgevoelige chip. Op de foto is met een witte lijn de grond ter plaatse van de hijskraan aangegeven.
Opgaven
a) Bepaal aan de hand van figuur 1 hoe hoog punt P zich boven de grond bevindt.
Het bovenste deel van de hijskraan is een hefboom. Zie figuur 2. Deze figuur is op schaal.
Het draaipunt van de hefboom is in de figuur aangegeven met S. Punt Z is het zwaartepunt van de hefboom. De massa van de hefboom bedraagt 880 kg. Aan kabel 1 hangt een last van 420 kg. Kabel 2 houdt het geheel in evenwicht.
Andere aan de hijskraan bevestigde kabels worden buiten beschouwing gelaten.
b) Bepaal met behulp van een print van figuur 2 de spankracht in kabel 2. Teken hiertoe de armen van de krachten.
De hefboom wordt rond punt S omhoog gedraaid en komt daardoor in een steilere stand te staan. Zie figuur 3.
De last die aan de hefboom hangt is ongewijzigd. Ook de hoek tussen kabel 2 en de hefboom verandert niet.
c) Beredeneer of de spankracht in kabel 2 nu groter wordt, kleiner wordt of gelijk blijft.
De last van 420 kg hangt aan twee kabels, zoals schematisch is weergegeven in de figuur 4.
d) Bepaal in een print van figuur 4 door middel van een constructie de grootte van de spankrachten in de beide kabels.
De hijskraan wordt gebruikt om de last op te tillen. De last van 420 kg wordt met een constante snelheid van 1,2 m/s omhoog gehesen. Het rendement van de elektromotor die voor het hijsen gebruikt wordt, bedraagt 71%.
e) Bereken het elektrisch vermogen dat de motor gebruikt tijdens het hijsen.
In figuur 5 staan twee mogelijke (v,t)-grafieken weergegeven van het begin van het hijsen.
Lijn A geeft de situatie weer als de elektromotor meteen op vol vermogen werkt.
Lijn B geeft de situatie weer als het vermogen geleidelijk wordt opgevoerd.
f) Leg aan de hand van figuur 5 uit welke situatie in de praktijk zal worden toegepast om te voorkomen dat de kabel breekt.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Op mijn beeldscherm is de foto in 8,1 cm hoog, en is punt P 7,5 cm van de grond. Aangezien de lichtgevoelige chip 15,0 mm hoog is, kan de afstand tussen de grond en punt P op de lichtgevoelige chip bepaald worden:
LB = (7,5 / 9,2) * 15,0 * 10-3 = 1,223 * 10-2 m
Om de werkelijke hoogte van punt P te bepalen moet de vergroting bekend zijn. De vergroting is gegeven door:
N = b / v
met v de voorwerpsafstand (30,0 m) en b de beeldafstand. De beeldafstand is niet gegeven, maar kan met behulp van de lenzenformule bepaald worden:
1 / f = S = 1 / b + 1 / v
62,7 = 1 / b + 1 / 30
62,7 - 1 / 30 = 62,667 = 1 / b
b = 1 / 62,667 = 1,596 * 10-2 m
De vergroting is dan:
N = 1,596 * 10-2 / 30 = 5,319 * 10-4
En voor de hoogte van punt P boven de grond geldt:
N = LB / LV
5,319 * 10-4 = 1,593 * 10-2 / LV
LV = 1,223 * 10-2 / 5,319 * 10-4 = 22,99 = 23 m
Uitwerking vraag (b)
De arm is de afstand tussen de werklijn van de kracht en het draaipunt. Het draaipunt bevindt zich links onderaan.
De eerste kracht die op de kraan werkt is de zwaartekracht, die aangrijpt in het zwaartepunt Z. In de figuur hieronder is de arm getekend. Deze is 4,5 cm lang. De grootte van de zwaartekracht is:
Fz = m*g = 880 * 9,81 = 8,633 * 103 N
De tweede kracht is de kracht die de last uitoefent op de kraan. De arm hiervan is 9,1 cm. De grootte van deze kracht is:
FL = m*g = 420 * 9,81 = 4,120 * 103 N
De laatste kracht is de spankracht van kabel 2. De arm van deze kracht is 2,6 cm.
De momentenwet geeft dan:
Fz * rz + FL * rL = Fspan * rspan
8,633 * 103 * 4,5 + 4,120 * 103 * 9,1 = Fspan * 2,6
7,648 * 104 = Fspan * 2,6
Fspan = 7,648 * 104 / 2,6 = 2,9 * 104 N
Uitwerking vraag (c)
Doordat de kraan omhoog gedraaid wordt, wordt zowel de arm van de zwaartekracht als de arm van de last kleiner, terwijl de arm van de spankracht gelijk blijft. Omdat de zwaartekracht en de kracht van de last even groot blijven, moet de spankracht dan kleiner worden.
Uitwerking vraag (d)
De zwaartekracht die op 420 kg werkt hebben we al bij onderdeel (b) uitgerekend en is 4,120 * 103 N. We laten de zwaartekrachtsvector aangrijpen in het knooppunt van de kabels en kunnen de zwaartekracht dan ontbinden. Dit is in de figuur hieronder gebeurt
De zwaartekracht is in deze figuur 4,5 cm, en de spankrachten zijn elk 2,5 cm. Elke spankracht is dan:
Fspan = 2,5 / 4,5 * 4,120 * 103 = 2,3 * 103 N
Uitwerking vraag (e)
Het mechanisch vermogen kan uitgerekend worden met:
Pm = W / t
Hierin is W de arbeid en t de tijd. De arbeid is kracht maal verplaatsing, met in dit geval de zwaartekracht als kracht en de hoogte als verplaatsing. De arbeid is dus gegeven door:
W = mgh
Als we naar 1 seconde kijken is de verplaatsing 1,2 m. Het mechanisch vermogen is dan:
Pm = mgh / t = 420 * 9,81 * 1,2 / 1 = 4,944 * 103 W
Het rendement is 71 %. Voor het elektrisch vermogen geldt:
η = Pnut / Ptot = Pm / Pel
0,71 = 4,944 * 103 / Pel
Pel = 4,944 * 103 / 0,71 = 7,0 * 103 W
Uitwerking vraag (f)
De richtingscoëfficiënt in het (v,t)-diagram geeft de versnelling. Aangezien lijn A veel steiler loopt, is er in deze situatie ook een grotere versnelling. Als er een grotere versnelling is, is de kracht op de kabel ook groter.
Bij situatie B werkt de kleinste kracht op de kabel, en deze situatie zal in de praktijk dan ook toegepast worden om te voorkomen dat de kabel breekt.
