Een opgave van de redactie van Stichting Exaktueel. Op basis van artikelen in de media worden opgaven gemaakt die te gebruiken zijn bij het natuurkunde onderwijs in het voortgezet onderwijs.
Opgave
In het NRC Handelsblad schrijft Karel Knip in december 2008 over zwaartekrachtmetingen die de dreiging van smeltwater uit Groenland of Antarctica moeten berekenen. Deze metingen moeten duidelijk maken of de Hollandse lage kusten werkelijk bedreigd worden door dit smeltwater, of juist bedreigd worden door het uitzetten van warm water. Een thuiswerker zou volgens Knip direct willen aantonen dat zware massa’s elkaar aantrekken. Die kracht zou dan gemeten kunnen worden. Helaas is deze meting met huishoudelijke middelen niet haalbaar.
Voor de meting hanteerde Cavendisch in 1797 enorme loden kogels. Maar hij moest hiermee flinke toeren uithalen voor een goed resultaat. Een amateur onderzoekt slechts de aantrekking tussen de gehele aarde en een willekeurig voorwerp. Maar dat is niet helemaal voldoende. Eigenlijk meet hij geen kracht, maar een versnelling. Het gaat om de zogenoemde valversnelling g. Hierbij moet de amateuronderzoeker een tijdsverloop registreren.
In een bericht over het slingeruurwerk van Huygens stond zes jaar geleden al wat schaarse informatie over de ‘vingervlugheid’ tijdens de bouw van een mathematische slinger om g te bepalen. De bepaling van g gebeurt met een gewicht aan een koord.
Toentertijd werd een waarde van 9,82 geregistreerd met de mathematische slinger. Deze slinger bestaat uit een loden gewichtje aan een dunne koperen draad. Knip voerde het experiment weer uit, met een slingerlengte van circa 1,875 meter, en slingertijd T van 2,73 seconde. Het resultaat was iets minder gunstig: 9,9.
Als men niet zorgvuldig werkt gaat de slinger spoedig rondjes maken, of beter gezegd conisch slingeren. De heen-en-weer beweging van de conische slinger is echter sneller dan die van de rechte slinger met dezelfde lengte, die zich beweegt in een plat vak. Een mogelijkheid is dat de geregistreerde slingertijd iets te laag was. Middels een proef werd echter gemakkelijk duidelijk, dat dit niet veel uitmaakt. De meeste onnauwkeurigheid ontstond door het meten van de slingerlengte.
De klassieke slingerformule voor voldoende kleine uitslagen luidt: de slingertijd T = 2π√(l/g) waarin l de lengte en g de valversnelling is. Hierin is π =3,14 en g=9.8. Dit is te vergemakkelijken met de formule T = 2√l.
Dit betekent dat een meterlange slinger in twee seconden heen en weer slingert: de ene seconde heen, de volgende seconde terug. Een meterlange slinger is hiermee een secondetikker. Hieraan verbonden rees de vraag, met betrekking tot die bepaalde katrol: Is hier sprake van een vreemd toeval, of is de meter met deze lengte bewust gekozen? Het correcte antwoord zou in het midden liggen.
Franse onderzoekers die hierover een eindbesluit namen, overwegen werkelijk om de meter met een slinger aan de seconde te koppelen. Ze ontdekten echter dat niet op elke plaats de zwaartekrachtsversnelling even groot is. Ze gaven aan de meter een definitie die bepaalde dat het een tienmiljoenste deel van de afstand tussen evenaar en pool is. Dit verklaart dat de omtrek van de aarde precies evenredig is aan veertigduizend kilometer, ongeveer.
De betreffende katrol was een AW-versie van een toestel van Atwood. Dit was afkomstig van de Atwood machine. Dominee Atwood had in 1784 deze truc bedacht om de val van een gewicht, dat valt, te vertragen door een ander gewicht. Hiermee is de valversnelling gemakkelijker te meten. Als het ene gewicht drie ons weegt, en het andere een ons, dan zal het drie ons wegende gewicht met de helft van de valversnelling omlaag zakken.
Hierbij gaat het andere gewicht vanzelfsprekend even hard omhoog. De spankracht in het koord links en rechts is bij het vallen hetzelfde. Dit was een conclusie van een internetsite, die door AW zou zijn geloofd, volgens Knip. Toch ontstond er aarzeling. Als bij de start van de valproef de katrol even wordt vastgehouden, zal de spankracht in het koordgedeelte boven het zwaarste gewicht het hoogst zijn.
Dan zou echter deze spankracht moeten afnemen, als de katrol loskomst. Dit is slechts haalbaar als het zware gewicht weer omhoog komt. Als het koord uitgevoerd acht in elastiek, is dit nog het meest invoelbaar. De AW-redactie besloot de proef ook uit te voeren, met Hema-elastiek. Hieraan wil de redactie niet herinnerd worden.
Vragen en opdrachten
In het artikel wordt de slingertijd van een mathematische slinger bepaald. Daaruit volgt een te hoge waarde voor de valversnelling g.
a) Bereken hoe groot de slingerlengte is bij de gemeten tijd en de juiste g.
b) Bereken hoe groot de slingertijd is van de slinger van 1,875 m en de juiste g.
Er is dus een meetfout gemaakt bij dit experiment. Dit kan in de lengte of in de tijd zijn.
c) Noem een paar fouten die gemaakt kunnen zijn.
d) Geef suggesties om die fouten te voorkomen.
Er wordt een formule afgeleid voor de slinger met slingertijd T= 2,00 s. De factor π/√g is niet exact gelijk aan 1.
e) Hoe groot is de factor π/√gin 4 cijfers nauwkeurig?
f) Wat vind je van deze afwijking van de exacte 1, in vergelijking met de meetnauwkeurigheden in de vorige vragen?
Uitwerking vraag (a)
T = 2π√(l/g) invullen levert 2,73 = 2π√l/9,81. Dit levert l = 1,852 m.
Uitwerking vraag (b)
T = 2π√(l/g) invullen levert T = 2π√1,875/9,81. Dus T = 2,75 s.
Uitwerking vraag (c)
De slingerlengte is niet gemeten tot het zwaartepunt van het loden gewichtje.
De slinger rekt uit onder het gewichtje.
De slinger is conisch gaan slingeren.
Uitwerking vraag (d)
De lengte exact meten van draaipunt tot zwaartepunt van het loden gewichtje.
Een aantal slingeringen achter elkaar meten.
Gebruik maken van een (of meer) lichtsensoren en een computer.
Uitwerking vraag (e)
π/√g = 3,14/√9,81 = 1,003
Uitwerking vraag (f)
Het verschil (100 x 1,003/1 = 0,3%) is veel kleiner dan de meetnauwkeurigheden, die ongeveer 1% zijn. De afwijking is dus te verwaarlozen.
Meer opgaven van de redactie van Exaktueel kunt u hier vinden.
