In figuur 1 zie je een `springdrum'. Een springdrum is een muziekinstrument. Een springdrum bestaat uit drie delen: een holle koker, een vel en een lange spiraalveer. Door de koker met de hand te schudden geeft de springdrum geluid.
Sandra wil graag meer te weten komen over de werking van de springdrum. Ze start haar onderzoek door het geluid van het instrument vast te leggen met een microfoon en een computer. Dit levert het trillingsdiagram uit figuur 2 op.
Uit deze figuur volgt dat de grondfrequentie van dit geluid 3,0 * 102 Hz is.
Opgaven
a) Toon dat aan.
Sandra ziet dat tijdens het schudden van de springdrum een transversale staande golf ontstaat in de spiraalveer. Zie figuur 3. In de tekening rechts zijn de uiterste standen van de veer schematisch weergegeven. Sandra meet dat de snelheid van de transversale golf in de veer 2 m/s bedraagt. Ze stelt de hypothese dat de trilfrequentie van de veer gelijk is aan de grondfrequentie van het geluid dat de springdrum voortbrengt.
b) Maak met behulp van figuur 3 een schatting van de golflengte in de veer en toon daarmee aan dat de hypothese van Sandra onjuist is.
Het blijkt dus dat de schudfrequentie (die de veer in trilling brengt) niet gelijk is aan de grondfrequentie van het geluid.
Dan bedenkt Sandra dat er tijdens het schudden van de koker ook een longitudinale golf in de veer ontstaat. Sandra denkt dat deze longitudinale golf het vel van de drum in trilling brengt.
c) Geef een argument, waarom het logischer is dat een longitudinale golf in de veer het vel in trilling brengt dan een transversale golf.
In de veer ontstaan meerdere longitudinale golven overeenkomend met de grondtoon en een aantal boventonen. We gaan ervan uit dat bij het vlies een knoop zit. Eén van de boventonen in de veer komt overeen met de grondtoon van 300 Hz van de luchtkolom in de koker.
Voor de golfsnelheid vL van een longitudinale golf in een veer geldt:
Hierin is:
- l de lengte van de veer (in m);
- C de veerconstante (in N/m);
- m de massa van de veer (in kg).
De veer heeft een massa van 15 g en is 46 cm lang en heeft een veerconstante van 128 N/m.
d) Bereken met behulp van deze gegevens de hoeveelste boventoon van de longitudinale golf overeenkomt met de grondtoon van 300 Hz van de luchtkolom in de koker.
Bereken daartoe ook de golflengte van de longitudinale golf in de veer.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
De trillingstijd is te bepalen met behulp van figuur 2. Hierin zie je 3 volledige trillingen in 0,010 seconde. De trillingstijd is dan 0,010 / 3 = 3,33 * 10-3 s.
Hieruit volgt de frequentie:
f = 1 / T = 1 / 3,33 * 10-3 = 3,0 * 102 Hz.
Uitwerking vraag (b)
De hand van Sandra is op de foto ongeveer 1 cm. De golflengte is ongeveer 4 cm en is dus 4 keer zo groot als de hand van Sandra. Mijn hand is ongeveer 9 cm dik. De golflengte is dan 4 * 9 = 36 cm.
Met een golfsnelheid van 2 m/s vind je dan voor de frequentie:
f = v / λ = 2 / 0,36 = 5,6 Hz
Dit komt niet overeen met de waargenomen frequentie. De hypothese van Sandra is dus onjuist.
Let op: als je de golflengte en de hand van Sandra thuis vanaf het scherm meet kan je op andere waardes uitkomen. Aangezien je met de verhouding tussen deze getallen werkt zou je toch op hetzelfde antwoord uit moeten komen.
Uitwerking vraag (c)
Het velt trilt in figuur 3 in de verticale richting. Dat is ook de richting van een longitudinale golf in de veer.
Uitwerking vraag (d)
Voor de golfsnelheid geldt:
vL = 0,46 * (128 / 0,015)1/2 = 42,5 m/s.
De golflengte is dan:
λ = v / f = 42,5 / 300 = 0,142 m
Voor een staande longitudinale golf met een uiteinde gesloten geldt:
l = (2n-1) * 1/4 * λ
0,46 = (2n - 1) * 0,25 * 0,142
0,46 = (2n - 1) * 0,0355
13 = 2n - 1
14 = 2n
n = 7
Dit komt overeen met de 6e boventoon.
