De nieuwbouwwijk `Stad van de Zon' in Heerhugowaard dankt zijn naam aan het grote aantal zonnepanelen dat geïnstalleerd is. Deze kunnen samen een piekvermogen van 3,75 MW leveren. In de wijk zijn 1600 huizen gebouwd.
Janine vraagt zich af hoeveel vierkante meter zonnepanelen voor dit vermogen nodig is. Ook vraagt zij zich af of de energie die door de zonnepanelen geleverd gaat worden genoeg zal zijn voor de hele wijk.
Van verschillende websites haalt ze onderstaande informatie:
- Het piekvermogen is het elektrisch vermogen dat zonnepanelen leveren bij `volle zon' (maximale zonneschijn en loodrechte inval).
- In Nederland is de intensiteit van het zonlicht bij `volle zon' 1000 Wm-2.
- Het gemiddelde vermogen van een zonnepaneel op jaarbasis is 10% van het piekvermogen.
- Het rendement van de gebruikte zonnepanelen is 13%.
- Een gemiddeld Nederlands huishouden gebruikt per jaar 3656 kWh aan elektrische energie.
- De spanning die de zonnepanelen leveren wordt omgezet naar een spanning van 230 V.
Opgaven
a) Bereken de totale oppervlakte van de zonnepanelen in de `Stad van de Zon'.
b) Laat met behulp van een berekening zien of de zonnepanelen op jaarbasis voldoende energie leveren voor de huizen in de wijk.
Janine ontwerpt een experiment om te onderzoeken hoe het elektrisch vermogen van een zonnepaneel afhangt van de weerstand die erop aangesloten wordt.
Ze bouwt een opstelling waar, bij een constante lichtintensiteit, een variabele testweerstand op een zonnepaneel aangesloten wordt.
Zie figuur 2.
Afhankelijk van de weerstand veranderen de stroomsterkte en de spanning die het paneel levert.
Van haar meetresultaten maakt ze het diagram van figuur 3.
c) Zet op een print van figuur 3 drie punten:
- Eén punt waar de aangesloten weerstand 0 is. Zet bij dit punt 0.
- Eén punt waar de aangesloten weerstand oneindig groot is. Zet bij dit punt ∞.
- Eén punt waar de aangesloten weerstand gelijk is aan 2,5 Ω. Zet bij dit punt 2,5. Geef een toelichting met een berekening of tekening.
d) Voer de volgende opdrachten uit:
- Bereken de grootte van het vermogen bij de volgende spanningen:
U = 0, 2, 6, 10, 14, 16 en 18 V.
- Teken in een print van figuur 4 (P,U)-diagram.
- Bepaal bij welke weerstand het vermogen maximaal is.
Er wordt momenteel onderzoek gedaan naar kleinere zonnecellen met een hoog rendement. Daarbij wordt het zonlicht eerst geconcentreerd door het gebruik van een lens. Zie figuur 5.
Figuur 5 is niet op schaal. Bij het concentreren van zonlicht speelt het begrip `concentratiefactor' een rol. De concentratiefactor geeft aan hoeveel keer groter de intensiteit van het licht dat op de zonnecel valt is, in vergelijking met het licht dat op de lens valt:
De waarde van de concentratiefactor is gelijk aan de verhouding van de oppervlakte van de gebruikte lens en de oppervlakte van de gebruikte zonnecel.
Een bepaald type zonnecel is rond en heeft een diameter van 4,4 cm. Men wil een concentratiefactor van 25 bereiken. De afstand tussen de lens en de zonnecel moet 36 cm bedragen. Hiervoor zoekt men een geschikte lens.
e) Bereken:
- de diameter van de benodigde lens;
- de brandpuntsafstand van de benodigde lens.
Verwaarloos daarbij de dikte van de lens en van de zonnecel.
In plaats van de lens in figuur 5 kan ook een Fresnellens gebruikt worden. In figuur 6 is een doorsnede van zo'n lens getekend. Zo'n lens is platter, lichter en goedkoper terwijl hij dezelfde convergerende eigenschappen heeft.
In figuur 7 staat figuur 6 vergroot weergegeven. Daarbij is ook het brandpunt van de lens en een invallende lichtstraal aangegeven.
f) Bepaal met behulp van een print van figuur 7 de brekingsindex van het materiaal waarvan de lens gemaakt is.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Het totale piekvermogen is 3,75 MW. Bij een rendement van 13% is het opgenomen vermogen dan:
3,75 * 106 / 0,13 = 2,88 * 107 W
Bij volle zon is het vermogen per vierkante meter 1000 W. Het totale oppervlakte is dan:
A = 2,88 * 107 / 1000 = 2,9 * 104 m2
Uitwerking vraag (b)
Het gemiddelde vermogen is maar 10% van het piekvermogen. De totale energie van de zonnepanelen per jaar is gelijk aan:
E = Pt = 3,75 * 106 * 0,1 * 365 * 24 * 3600 = 1,18 * 1013 J
Een gemiddeld huishouden gebruik 3656 kWh oftewel 3656 * 3,6 * 106 = 1,316 * 1010 J.
Er is dan genoeg voor 1,18 * 1013 / 1,316 * 1010 = 899 huishoudens. De zonnepanelen leveren dus onvoldoende energie (voor de 1600 huizen in de wijk).
Uitwerking vraag (c)
De weerstand is te bereken met de wet van Ohm: R = U / I.
- R = 0 als U = 0.
- R = ∞ als I = 0.
- De rode lijn in de figuur is de lijn waarbij R = 2,5 Ω. Uit de wet van Ohm volgt dan I = U / 2,5. Het snijpunt met de getekende lijn is het punt waar de aangesloten weerstand gelijk is aan 2,5 Ω.
Uitwerking vraag (d)
Voor het vermogen geldt P = U * I, dus:
U = 0 V, I = 5,5 A
P = 0 * 5,5 = 0 W.
U = 2 V, I = 5,5 A
P = 2 * 5,5 = 11 W.
U = 6 V, I = 5,4 A
P = 6 * 5,4 = 32,4 W.
U = 10 V, I = 5,3 A
P = 10 * 5,3 = 53 W.
U = 14 V, I = 4,7 A
P = 14 * 4,7 = 65,8 W.
U = 16 V, I = 3,5 A
P = 16 * 3,5 = 56 W.
U = 18 V, I = 0 A
P = 18 * 0 = 0 W.
Het (P,U)-diagram ziet er dan als volgt uit:
Het vermogen is maximaal voor U = 14 V. De weerstand is dan: R = U / I = 14 / 4,7 = 3,0 Ω.
Uitwerking vraag (e)
De concentratiefactor moet 25 zijn. Omdat het oppervlakte evenredig is met de diameter in het kwadraat geldt:
25 = dlens2 / dcel2 = dlens2 / 4,42
dlens2 = 25 * 4,42 = 484
dlens = 22 cm
Bekijk vervolgens de schets hieronder:
De verhouding tussen de diameter van de cel en de lens is gelijk aan de verhouding tussen x en f, met x de afstand tussen de zonnecel en het brandpunt en f de brandpuntsafstand:
dcel / dlens = x / f
De afstand tussen de zonnecel en de lens is 36 cm en gelijk aan f - x, dus x = f - s. Combineren geeft:
0,044 / 0,22 = (f - 0,36) / f
0,2 f = f - 0,36
-0,8 f = -0,36
f = 0,36 / 0,8 = 0,45 m
De brandpuntsafstand is dus 45 cm.
Uitwerking vraag (f)
Aan de bovenkant van de lens komt de lichtstraal loodrecht op het grensvlak terecht. Er treedt daar dus geen breking op. Na de lens gaat de lichtstraal door het brandpunt. Het verloop van de lichstraal is dus:
Voor de breking van glas naar lucht geldt:
sin(i) / sin(r) = 1 / n
De invalshoek kunnen bepaald worden uit de constructie en zijn i = 30° en r = 49°. De brekingsindex is dan:
n = sin( r ) / sin( i ) = sin( 49 ) / sin( 30 ) = 1,5
