Opgave
Meer informatie is te vinden op www.esa.nl.
De bedoeling was dat de Artemis in een geostationaire baan zou worden gebracht.
a) Wat is een geostationaire baan?
b) Welke omlooptijd, snelheid en hoogte boven het aardoppervlak horen daarbij?
Bij een satelliet in een elliptische baan vindt er steeds omzetting plaats van gravitatie-energie in kinetische energie en omgekeerd.
c) In welke punt van de baan is de kinetische energie het grootst en in welk punt is de gravitatie-energie het grootst?
d) Leg uit dat in de aanvankelijke elliptische baan de totale energie van de satelliet te klein was.
e) Bereken hoeveel de gravitatie-energie te laag was. De massa van de satelliet Artemis is 3100 kg.
Tijdens de tweede stap moet de baan van een elliptische baan in een cirkelbaan veranderen.
f) Leg uit dat daartoe de satelliet een hogere snelheid moet krijgen.
g) Leg uit of de richting van de snelheid dan moet veranderen.
h) Toon met een berekening aan dat de hoogte van de baan en de omlooptijd met elkaar in overeenstemming zijn.
Uitwerking vraag (a)
Een geostationaire baan is een baan waarvan de omlooptijd 24 uur is. De satelliet maakt dan in dezelfde tijd een cirkelbaan boven de evenaar als de aarde om haar as draait. Ten opzichte van de aarde staat de satelliet dan stil draait dan met de aarde.
Uitwerking vraag (b)
• De omlooptijd is dus 24 uur.
• De hoogte is te berekenen door gravitatiekracht en de middelpuntzoekende kracht aan elkaar gelijk te stellen. Dit levert Fg = Fmpz en dit geeft r3 = G.M.T2 / 4π2 invullen van T is 24 . 3600 s levert r = 42,27.106 m
• De straal van de aarde bedraagt 5,976.106 m. Dus de hoogte boven de aarde is 35,89.106 m.
• De snelheid berekenen we met v = 2.π.r / T = 3,07.103 m/s
Uitwerking vraag (c)
• In het laagste punt is de snelheid en dus de kinetische energie het hoogst.
• In het hoogste punt de gravitatie-energie.
Uitwerking vraag (d)
• De gravitatie-energie moet hoger worden voor de uiteindelijke cirkelbaan en de kinetische energie ook.
Uitwerking vraag (e)
• Voor de gravitatie energie geldt Eg = - G.m·M/r waarbij r = R + h. Invullen de hoogte van 31.000 km en de hoogte van 13.000 km ( 31.000 – 18.000 ) geeft een verschil van E = 3,1.1010J.
Uitwerking vraag (f)
• Omdat in dat hoogste punt de snelheid niet groot genoeg is voor een cirkelbaan, valt de satelliet terug naar een lagere hoogte. Dus voor een cirkelbaan is meer snelheid nodig.
Uitwerking vraag (g)
• Op het hoogste punt staat de snelheid loodrecht op de afstand van de satelliet naar de aarde. De richting hoeft dus niet te veranderen.
Uitwerking vraag (h)
• Gelijkstellen van de gravitatiekracht en de middelpuntzoekende kracht levert:
• Fg = Fmpz
• geeft T2 = 4.π2/G·M.r3
• invullen levert T = 71903 s = 19,97 h = 20 h.
• Het klopt dus.
