Introductie
‘Space Shot’ is een spectaculaire attractie in het pretpark ‘Six Flags’. In deze attractie kan een groep mensen zich laten ‘lanceren’ met behulp van een ring om een hoge toren. Op de ring zijn stoelen bevestigd waarin de bezoekers met stevige gordels vastzitten. De ring wordt vanaf de grond omhooggeschoten tot onder de top van de toren.
Lees de folder:
Folder
Space Shot: nieuw in de BENELUX!
Een sensationele lancering met een snelheid van 85 kilometer per uur, 60 meter omhoog. Een rit valt te vergelijken met een lancering van de Space Shuttle, waarbij je de spanning kan voelen, die de astronauten ervaren als zij vertrekken van Cape Canaveral. Je ondergaat een versnelling van 4g!
Naar: reclamefolder van Six Flags
Opgave
Esther wil een aantal gegevens uit deze reclamefolder controleren. Met behulp van een versnellingsmeter meet ze tijdens een lancering de versnelling als functie van de tijd. De metingen worden ingelezen in een computer, welke ze bewerkt tot een (v,t)-grafiek.
let op: Als je gebruik wilt maken van de grafische mogelijkheden van je rekenmachine, mag je uitgaan van de gegevens in het kader. Geef in dit geval aan hoe je aan je antwoord komt.
Esther stelt voor verschillende delen van de grafiek een wiskundig model op:
• voor 0 sec ≤ t < 1,80 sec v(t) = 30,8 t – 11,4 t 2
• voor 1,80 sec ≤ t < 3,62 sec v(t) = 36,9 – 10,2 t
• voor t ≥ 3,62 sec v(t) = 34,1 – 9,42 t
a) Leg met behulp van figuur 2 uit of de in de folder genoemde snelheid bereikt wordt.
Uit de meetresultaten vindt Esther dat de ring op t = 1,80 sec een afstand heeft afgelegd van 27,7 m.
b) Toon aan dat de ring minder ver omhoog gaat dan in de folder vermeld wordt.
c) Bepaal of bereken de maximale versnelling tijdens de lancering en ga na of deze overeenkomt met de waarde uit de folder.
De massa van de ring met bezoekers is 2,4.103 kg. De kracht waarmee deze ring omhoog wordt gestuwd, werkt slechts gedurende 1,80 s.
d) Bepaal of bereken hoeveel arbeid de stuwkracht op de ring verricht. Verwaarloos daarbij de arbeid die de wrijvingskracht verricht.
In werkelijkheid is de arbeid die de wrijvingskracht verricht niet te verwaarlozen. Op t = 3,62 s bereikt de ring zijn hoogste punt en keert de snelheid van richting om.
De grafiek van figuur 2 vertoont op dat tijdstip een lichte knik (dit is met behulp van een geo driehoek goed te zien). Esther denkt dat de knik het gevolg is van het omkeren van de richting van de wrijvingskracht tussen de ring en de toren.
e) Leg uit of het omkeren van de richting van de wrijvingskracht inderdaad tot een dergelijke knik in de (v,t) grafiek kan leiden.
Uitwerking vraag (a)
• Volgens de grafiek geldt: vmax = 20,8 m/s = 75 km/h
• Dit is beduidend lager dan de in de folder genoemde waarde. Deze waarde wordt dus niet gehaald.
Uitwerking vraag (b)
• Hier zijn verschillende mogelijkheden om aan het goede antwoord te komen:
Methode 1:
• Op t = 3,62 sec is de snelheid nul en keert hij van richting om; het hoogste punt is dan bereikt.
• De verplaatsing tot dat moment is gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek:
• Verplaatsing tot t = 1,8 sec: 27,7 m (is gegeven)
• Verplaatsing van t = 1,8 tot 3,62 sec: oppervlakte van de driehoek (3,62 –1,8)*½*18,2 = 16,6 m
• De totale verplaatsing is dus de grootste hoogte: 27,7 + 16,6 = 44,3 m
• Dit is minder dan de in de folder beloofde 60 m.
Methode 2:
• Bepaling van de oppervlakte onder de grafiek met behulp van de Grafische Rekenmachine:
• Invoeren: fnInt (36,9 –10,2*x,x,1.8,3.62,.01) geeft als antwoord 1,685Е1
• Totale hoogte: 16,85 + 27,2 = 44,6 m
Methode 3:
• Gedurende de periode van 1,8 tot 3,62 sec is de versnelling constant.
• De gemiddelde snelheid is dus gelijk aan vmax / 2. Dit is dus 18,2 / 2 = 9,1 m/s
• De verplaatsing is dan 9,1 * (3,62 – 1,8) = 16,4
• De maximale hoogte is dan 27,7 + 16,4 = 44,3 m
Uitwerking vraag (c)
• methode 1:
• a = dv / dx
• a = 30,8 – 22,8 * t
• a is maximaal als t = 0
• a max = 30,8 m/s2
methode 2
• de grafiek loopt het stijlst op t = 0
• bepaling van die stijlheid leidt tot a = 30 m/s2
• g = 4*9,81 = 39,2 m/s2. Dit is aanzienlijk meer dan uit de metingen blijkt.
Uitwerking vraag (d)
In het hoogste punt is alle arbeid, die verricht is door de stuwkracht, omgezet in zwaarte-energie. Dit is te bereken op 2 manieren:
manier 1:
• W stuw = m*g*h max
• W stuw = (2,4.103) * 9,81 * 44,3
• W stuw = 1,0.106 J
manier 2:
• W stuw +
• W zwaartekracht = E k
• W stuw + mg*27,7*cos 180° = ½ *(2,4.103)*(18,3)2
• W stuw = (4,02.105) – ((2,4.103)*81*27,7*(-1)
• W stuw = 1,1.106J
Uitwerking vraag (e)
• Vlak voor de top werken zwaartekracht en wrijvingskracht in dezelfde richting, namelijk naar beneden.
• Er geldt dan: F res = F z + F w = m*a voor
• Vlak daarna zijn de twee krachten tegengesteld gericht:
• F res = F z - F w = m*a na
• a voor zal dus groter zijn dan a na wat een knik in de snelheidsgrafiek te zien zal geven.
