Opgave
Een funiculare is een trein die bedoeld is om personen langs een steile helling te vervoeren.
Een foto hiervan is te zien op figuur 1. Aan de constructietekening van een dergelijke trein in figuur 2 kun je zien dat ondanks de helling de personen toch gewoon op een horizontale bank kunnen zitten. De ‘truc’ van een funiculare is dat terwijl aan de ene kant een trein omhoog gaat, er aan de andere kant een even zware trein omlaag gaat.
De vragen en gegevens hebben alleen betrekking op figuur 1, dus een trein op een helling aan een kabel. Deze kabel loopt evenwijdig aan de helling.
De massa van de in figuur 1 weergegeven trein met passagiers is 3,5 * 103 kg. Van de lege trein is dat 2,5 * 103 kg. De lengte van het traject is 1275 m. De hellingshoek kun je in figuur 1 opmeten; de hellingshoek is constant. Met eventuele vertekening hoef je geen rekening te houden. De snelheid van het treintje is 5 m/s. De wrijvingskracht bestaat alleen uit rolwrijving en is 1% van de normaalkracht.
Vermeld steeds je veronderstellingen!!
a) Bereken hoeveel arbeid er door de spankracht in de kabel verricht moet worden om de trein met passagiers over die 1275 m te verplaatsen.
b) Bereken het vermogen dat van de spankracht in de kabel vereist wordt om de trein met passagiers naar boven te trekken.
Het gaat erom de passagiers naar boven te vervoeren.
c) Bereken het rendement van de in vraag (a) berekende arbeid.
Een van de passagiers die in de trein zit, is meneer Jansen. Hij heeft een massa van 80 kg. Op hem werken twee krachten, de zwaartekracht en de normaalkracht.
d) Bereken de arbeid die door de normaalkracht is verricht tijdens de rit langs de helling naar boven.
Uitwerking vraag (a)
• De zwaartekracht Fz = m×g = 3,0 * 103 × 9,81 = 29430 N
• Fzy = Fn = Fz × cos α = 29430 × cos 34˚ = 24399 N
• Fzx = Fz × sin α = 29430 × sin 34 ˚ = 16457 N
• Fw = 0,01 × Fn = 244 N
Vanwege de constante snelheid omhoog moet:
• Fs = Fzx + Fw = 16457 + 244 = 16701 N.
De arbeid van de spankracht is nu uit te rekenen:
• W = F × s = 16701 × 1275 = 21 * 106 J
Uitwerking vraag (b)
• Je kunt ook gebruik maken van P = F × v = 16701 × 5,0 = 84 kW.
De tijd is de tijd die je met een snelheid van 5 m/s nodig hebt voor 1275 meter.
• Uiteindelijk is dit de beste manier:
Uitwerking vraag (c) en (d)
• De door de kabel verrichte arbeid is 21 * 106 J. Nuttig is alleen het omhoog brengen van de passagiers, die samen 500 kg wegen. Zij gaan 1275 × sin 34˚ = 713 m omhoog.
• Daarvoor is een arbeid nodig van W = F × s = 500 × 9,81 × 713 = 3,5 * 106 J.
