In eenvoudige situaties, waarbij je de wrijving verwaarloost en je aanneemt dat het elastiek zich ‘ideaal’ gedraagt, is de bungee-sprong met veel moeite nog handmatig te berekenen. Veel beter en gemakkelijker is het om een Coach-model te maken. Je krijgt sneller resultaat, omdat de computer het rekenwerk doet en je kan ingewikkelder en realistischer situaties aan.
Model ideale sprong
Iemand van 80 kg laat zich van een hoogte van 35 m vallen. De statische lengte Ls is 2,0 m en de lengte van het elastiek L is 9,0 m. De veerconstante is 100 N/m.
Bij de ideale sprong nemen we aan dat er geen wrijvingskrachten zijn en dat het elastiek zich ideaal gedraagt (massa te verwaarlozen en veerkracht evenredig met de uitrekking: Fv = C*u). Ook wordt de invloed van rotatie van het lichaam etc. verwaarloosd. We nemen aan dat de springer zich zonder beginsnelheid laat vallen. De springer start van een hoogte H boven de grond. De afstand tot de grond wordt y genoemd. Zoals bij veel modellen in de mechanica is het moeilijkste deel het goed programmeren van de kracht. Tijdens één deel van de beweging werkt alleen de zwaartekracht en in het andere gedeelte zwaartekracht+veerkracht. Als de afgelegde afstand tot startpunt groter is danLs+L, wordt de veer voor het eerst uitgerekt. De uitrekking u = H-Ls-L-y. Alleen als u positief is wordt het elastiek uitgerekt en werk er een veerkracht. In het model moeten dus regels komen als
- C :=0 ‘veerkracht uitgeschakeld
- u:= H – Ls – L – y
- Als u > 0
- Dan C : = Cv ‘veerkracht ingeschakeld
- Eindals
- F := m*g + C*u
Het model en de startwaarden zouden er dan zo uit kunnen zien:
Resultaat: In de figuren hieronder staan de y(t), de v(t) en de a(t) tegen de tijd uitgezet. Let op de samenhang bij de v(t) en a(t) grafiek
Je kan met het model allerlei dingen onderzoeken, b.v.
- Hoe verandert de maximaal afgelegde afstand, de maximale snelheid en de maximale versnelling als de massa groter wordt?
- Hoe veranderen ze als je een stijver elastiek (grotere veerconstante) gebruikt?
- Hoe groot moet Ls zijn, zodat de persoon net niet de grond raakt?
Model met Luchtwrijving
Voor de grootte van de luchtwrijvingskracht geldt naar we aannemen de formule:
In deze formule is A het frontaal oppervlak en ρ de dichtheid van de lucht. De coëfficiënt k is dus
Voorcw nemen we ongeveer 1 en voor de dichtheid van de lucht 1,2 kg/m3. Neem voor het frontaal oppervlak b.v. 0,7 m2. Noem in het model de A wel ‘Opp’ of iets dergelijks omdat in Coach de ‘a’ van versnelling en de ‘A’ van oppervlakte verward kan worden. De modelregel voor de kracht wordt nu
F:= m*g + C*u - k*v*abs(v)
dat is alles wat je in het model moet veranderen !
Bedenk dat de luchtwrijvingskracht altijd tegengesteld gericht is aan de snelheid. Als de snelheid van richting (en dus ook van teken) verandert, moet de kracht ook van richting veranderen.
De factor abs(v) is nodig om te zorgen dat als de snelheid van richting - dus van teken -verandert, ook de luchtwrijvingskracht van teken verandert.
Het resultaat staat hieronder. De beweging is nu gedempt, amplitude, maximale snelheid en maximale versnelling zijn nu wat minder geworden.
Je ziet aan het resultaat dat we er nog niet zijn. Door luchtwrijving is de trilling weliswaar gedempt, maar die demping is nog veel te klein. In werkelijkheid komt de springer na een paar trillingen zo goed als geheel tot stilstand. Wat we ook in rekening zouden moeten brengen is dat het elastiek bij uitrekking en terugvering veel energie in warmte omzet.
Model met Luchtwrijving en inwendige wrijving
Een simpele manier om inwendige wrijving in rekening te brengen dat je een constante wrijvingskracht van b.v 100 N toevoegt aan de veerkracht. Die wrijvingskracht moet dan tegengesteld zijn aan de snelheid, omdat de arbeid van de wrijvingskracht steeds negatief moet zijn.
Je voert die kracht in door in het model in te voegen:
Fw:= Fwinw
En
Fveer:= C*u – Fw*teken(v)
Teken(v) is een speciale functie. Teken(v) is +1 als v positief is en -1 als v negatief is. Met die functie wordt ervoor gezorgd dat Fw steeds tegengesteld gericht is aan de snelheid.
Als je dit in het coachmodel invoert, krijg je toch een lelijk resultaat. Zodra de uitwijking u groter dan 0 is, is er meteen een wrijvingskracht van b.v. 100 N. En onderaan keert plotseling de wrijvingskracht om van +100 N naar – 100 N. Dat geeft rare pieken in de versnelling en is geen realistische situatie. Je kan het model wat realistischer maken door de Fw geleidelijk te laten aangroeien tot hun maximale waarde.
Bijvoorbeeld in de onderste stand: als de snelheid minder dan 3 m/s is, neemt Fw evenredig af (of toe) met de snelheid. En als het elastiek begint uit te rekken: als u minder is dan 2 meter neem de veerkracht evenredig met u toe (of af).
Hieronder zie je hoe het model er zou kunnen uitzien. In de figuren hieronder zie je het verband tussen kracht en uitrekking van het elastiek waarbij de inwendige wrijving in rekening is gebracht en het y(t)-t diagram. De beweging is nu veel sterker gedempt.
En verder?
Er valt nog veel meer aan het model te verbeteren, maar dat zou hier veel te ver voeren. Je zou in rekening moeten brengen dat het elastiek geen ideale veer is, maar dat de veerconstante bij hogere waarden van u afneemt. Bij een bungee-sprong is de massa van het elastiek zeker niet te verwaarlozen. Je zou dus ook de beweging van het elastiek in het model moeten onderbrengen. De bungeespringer laat zich meestal niet zonder beginsnelheid vallen maar maakt een leuke duik naar voren. Dan is er niet alleen een beweging in y-richting maar ook in x-richting.
