Voor sommigen een nachtmerrie, voor anderen de ultieme sensatie: een sprong van grote hoogte, naar de grond toe suizen en dan toch nog op tijd afremmen. Van groot belang voor een veilige sprong is de keuze van het goede elastiek met de juiste lengte. In dit artikel laat ik zien hoe je met de Wet van Behoud van Energie al een aardig idee kan krijgen van hoe die beweging gaat.
(foto Ellywa, CC BY-SA 3.0)
De bungeejump is vermoedelijk afkomstig van een inwijdingsritueel op Pinkstereiland (Pentecost Island, Vanuatu) in de Stille Oceaan. Jonge mannen moesten hun moed tonen door aan een elastiek van een hoge rots af te springen. Pas sinds 1979 werd het in Engeland voor het eerst gedaan vanaf een hoge brug bij Bristol en daarna is het in de jaren 80 en 90 over de hele wereld verbreid. Bij de sprong val je eerst een eind naar beneden, totdat het elastiek uitgerekt wordt en jou een veerkracht geeft die je beweging afremt. Als die veerkracht groot genoeg is kom je voordat je de grond raakt tot stilstand en veer je weer terug.
Rekenvoorbeeld
Aan de hand van een rekenvoorbeeld kan je zien hoe dit werkt. Een persoon van 80 kg is vastgemaakt aan een elastiek met een lengte L van 9,0 m. We nemen aan dat het elastiek zich gedraagt als een ideale veer met een veerconstante van 100 N/m. Het elastiek zit zelf weer aan een niet rekbaar stuk touw met een lengte Ls van 2,0 m.
* De bungeejumper laat zich zonder beginsnelheid vallen. Als hij een afstand L+ Ls heeft afgelegd wordt voor het eerst de veer uitgerekt en begint de veerkracht de beweging af te remmen.
- Hoe groot is de maximale afstand tot het startpunt?
- Hoe groot is de maximale kracht die de springer van het elastiek ondervindt?
- Waar is de snelheid maximaal en hoe groot is die snelheid?
De maximale afstand.
We nemen voor de berekening aan dat er geen wrijving is, en dat de massa van het elastiek te verwaarlozen is. Toepassing van de wet van behoud van energie stelt ons in staat de maximale afstand te berekenen: Boven heeft de springer zwaarte-energie en beneden is al die energie omgezet in veerenergie.
Dus: Ez, boven = Eveer, beneden De formule voor zwaarteënergie is m*g*h De formule voor veerenergie is ½*C*u2 Aan de tekening hiernaast kan je zien dat h = Ls + L + u
dus:
Als we getallen invullen krijgen we
Met de Grafische Rekenmachine is de vergelijking niet moeilijk op te lossen: u = 23 m. Het elastiek heeft een uitrekking die 2 ½ keer zo groot is als zijn eigen lengte.
De afstand die afgelegd is: 2,0 + 9,0 + 23 = 34 m
De maximale kracht
De maximale kracht van het elastiek is uit te rekenen met de wet van Hooke:Fv = C*u
Invullen geeft: Fv = 100*23 = 2,3.103 N. Met zo’n kracht zou je 235 kg kunnen optillen. De versnelling in het laagste punt is te vinden met:
De versnelling is bijna tweemaal zo groot als de valversnelling. Dit betekent dat je hoofd driemaal zo zwaar aanvoelt als normaal. Als het elastiek aan je voeten vastzit, wordt vanaf de voeten de remmende kracht doorgegeven naar de rest van je lichaam. Je wordt als het ware een beetje uitgerekt. Dit betekent ook een zware belasting voor je ruggengraat en je nek (die moet het vrij zware hoofd de juiste versnelling geven). Bungeejumpen is misschien niet direct schadelijk of gevaarlijk, maar erg gezond is het ook niet.
De maximale snelheid
Tijdens het vrij vallen, als het elastiek nog geen kracht uitoefent, is de versnelling gelijk aan de valversnelling. Ook als het elastiek uitgerekt wordt, is in het begin de veerkracht nog kleiner dan de zwaartekracht van de persoon. De resulterende kracht is nog steeds naar beneden gericht en je snelheid wordt groter. Pas als de veerkracht omhoog groter is dan de zwaartekracht naar beneden, wordt de persoon afgeremd en wordt snelheid minder. Conclusie: de snelheid is het hoogst als de veerkracht gelijk is aan de zwaartekracht. Dit klopt trouwens ook goed met wat je bij trillingen hebt geleerd: in de evenwichtsstand is de snelheid maximaal.
Wáár is de snelheid maximaal: als
De persoon heeft dan 11,0 + 7,8 = 18,8 m afgelegd. De grootte van de snelheid is weer met de wet van behoud van energie uit te rekenen. De beweging start 18,8 m boven de evenwichtsstand dus
En verder?
Het is niet moeilijk om van de boven behandelde sprong een Coachmodel te maken. Hierboven zie je het resultaat: de bovenste stukken van de krommen zijn parabolen (eenparig versnelde/vertraagde beweging) en de onderste stukken sinusoïden (harmonische trilling). Als de persoon zich van 35 m hoogte naar beneden laat vallen, legt hij 34 m af en veert weer terug. Je ziet ook dat de snelheid maximaal is bij t = 2 s (de grafiek is daar het steilst) en…. dat de persoon weer helemaal terugveert tot 35 m hoogte. Dit is logisch, omdat er geen wrijvingskrachten in het model zijn verwerkt. De arme bungee-jumper blijft dus eeuwig tussen de 35 m en 1 m hoogte heen en weer bewegen. De gebruikte berekening is nog te simpel: luchtwrijving en omzetting van veerenergie in warmte spelen bij de beweging ook een rol en die zijn niet te verwaarlozen.
Wil je de bungeejump met Coachmodellen onderzoeken, klik dan hier
