Als je kijkt naar de opbouw van een atoom dan zie je dat de straal van het atoom ongeveer 10.000 keer groter is dan die van de kern. Dan ligt het voor de hand om te denken dat er voldoende lege ruimte is om het atoom samen te drukken. Maar dat gebeurt niet. We gaan nu eens uitzoeken hoe dat komt.
Opbouw van een atoom
Laten we eens kijken naar de elektronenstructuur in een atoom. In figuur 1 zie je een schematische weergave van een natriumatoom. Met de nadruk op schematisch, de precieze vorm en onderlinge verhouding zijn namelijk niet in overeenstemming met de werkelijkheid. Dit model geeft vooral aan wat de energietoestanden zijn van de elektronen, niet hun ruimtelijke verdeling.
Je ziet de zogenaamde schillen waar elektronen (de grijze bollen) zich in bevinden. In de eerste schil (dichtst bij de kern) zitten er 2, in de volgende 8 en ten slotte in de derde nog maar 1 elektron. Die aantallen zijn geen toeval.
Quantumtoestanden en quantumgetallen
Een centraal begrip in de natuurkunde is dat van een toestand. Een toestand (of state in het Engels) beschrijft alle eigenschappen van een systeem. Van een bal die door de lucht vliegt, kunnen we de toestand weergeven met onder meer de massa, de snelheid, de vorm, de kleur enzovoort. In de quantummechanica echter gebruiken we zogenaamde quantumgetallen om een toestand te specificeren.
In een atoom geven we de toestand waarin de elektronen zich kunnen bevinden weer met vier quantumgetallen, die n, l, m en s heten.
De eerste drie beschrijven de ruimtelijke toestand die horen bij de elektronen, het getal s beschrijft de spintoestand van de elektronen. Deze getallen kunnen alleen heel specifieke waardes hebben.
Het getal n van het atoom is het hoofdquantumgetal dat de hoofdbanen van het elektron in het atoom nummert. Dit getal begint bij 1 en neemt alleen gehele positieve waarden aan.
Het getal l heet het nevenquantumgetal en kan gehele waardes hebben van 0 t/m n – 1. Dit getal geeft aan hoeveel subtoestanden er van n zijn.
Het getal m heet het magnetische quantumgetal en hangt weer af van l. Het getal heeft gehele waardes van −l t/m +l.
Ten slotte is er s, dat het spinquantuntumgetal is. Het elektron is een klein kompasnaaldje en dit quantumgetal geeft aan in welke richting dat magneetveld wijst. In tegenstelling tot een 'normaal' kompasnaaldje kan een elektron maar twee mogelijke oriëntaties hebben die spin up en down genoemd worden. Die komen overeen met s = ½ en s = −½.
Het uitsluitingsprincipe van Pauli
Deze quantumgetallen beschrijven alle mogelijke toestanden waarin elektronen zich kunnen bevinden. Maar als we willen weten hoeveel elektronen er daadwerkelijk in zitten, hebben we het uitsluitingsprincipe van Pauli nodig. Het wordt ook wel het uitsluitingsprincipe genoemd, of principe van Pauli. Het is genoemd naar een van de pioniers van de quantummechanica Wolfgang Pauli (1900 – 1958), zie figuur 2.
Het principe van Pauli zegt dat twee elektronen zich niet in een gelijke quantumtoestand kunnen bevinden. Voor een atoom betekent dit dat ieder elektron in dat atoom verschillende waardes van de vier genoemde quantumgetallen (n,l,m,s) moet hebben.
Hieruit volgt dat iedere toestand gevuld kan worden met hooguit twee elektronen (een spin up en een spin down). Bij meer dan twee zullen er elektronen zijn met een gelijke set quantumgetallen en het uitsluitingsprincipe verbiedt dit.
Quantumtoestand van natrium
Laten we dit eens toepassen op natrium, zie figuur 3. In de eerste baan geldt n = 1. Het getal l heeft dan de waarde 0, wat betekent dat er geen subtoestand bij hoort. Blijft over dat s de waarde ½ en −½ kan hebben. Bij n = 1 zijn dus twee elektronen mogelijk.
Bij n = 2 wordt het ingewikkelder. Daar geldt namelijk l = 0, of l = 1. Bij l = 0 betekent dat er net als hiervoor twee elektronen mogelijk zijn. Maar l = 1 geeft voor m de waarden −1, 0 en +1, dat zijn 3 subtoestanden. In totaal zijn er bij n = 2 dus 4 subtoestanden met ieder twee elektronen. Dat verklaart de 8 elektronen in de tweede schil.
Bij n = 3 kun je zelf nagaan dat er 18 elektronen mogelijk zijn. Door de waarde zijn er namelijk 5 toestanden bijgekomen (oftewel 10 elektronen). Maar bij natrium stopt het bij 1 elektron omdat het atoomnummer 11 heeft.
Voor atomen met een hoger atoomnummer dan natrium moeten we ook kijken naar hogere waardes van n. Bij n = 4 komen er 7 toestanden bij en is het totaal aantal mogelijke elektronen 32.
Soms worden ook wel letters gebruikt om sommige van deze quantumgetallen aan te geven. Voor n zijn dat K, L, M en N, in plaats van 1, 2, 3 en 4. Voor l zijn dat de letters s, p, d, f voor 0, 1, 2 en 3. Misschien ken je dit wel uit de scheikunde, daar worden de banen in een atoom aangeven met bijvoorbeeld 2p, de 2 is de waarde van n, de letter geeft de waarde van l aan, in dit geval l = 1. Er zijn er meer, zoals 3s, 4d en 5f.
Formele beschrijving van het uitsluitingsprincipe
Laten we nu eens een formele beschrijving bekijken van het Pauliprincipe. Een quantumtoestand wordt weergegeven met een golffunctie, waar het symbool $\Psi$ voor gebruikt wordt, bijvoorbeeld een toestand A heeft golffunctie $\Psi _A$ . A is de naam voor alle relevante quantumgetallen van het systeem.
We kijken nu naar een algemeen systeem van twee elementaire deeltjes, de eerste (1) in toestand A en de tweede (2) in toestand B, we geven dat aan met $\Psi _A(1)$ en $\Psi _B(2)$ . Dit zouden elektronen in een atoom kunnen zijn, maar ook iets heel anders, zoals protonen in de atoomkern. De combinatie van deze twee tot de golffunctie van het gezamenlijke systeem geven we dan weer met $\Psi (1,2)$ . Omdat elementaire deeltjes identiek zijn, dat wil zeggen niet van elkaar te onderscheiden zijn, is deze situatie gelijk aan deeltje 1 in toestand B en 2 in toestand A, oftewel $\Psi _B(1)$ en $\Psi _A(2)$ , zie figuur 4.
Dat deze twee toestanden niet te onderscheiden zijn, betekent dat bij een meting van het systeem we niet kunnen weten of deeltje 1 in toestand A zit (en 2 in B) of omgekeerd.
Nu komen we bij een basisprincipe van de quantummechanica. De golffunctie $\Psi$ zelf kunnen we niet waarnemen, wat we kunnen meten (waarnemen) is het kwadraat van de golffunctie $\Psi ^2$ , waarvan de waarde de kans geeft om het systeem in een bepaalde toestand aan te treffen. Omdat we in ons geval de twee toestanden niet kunnen onderscheiden, volgt hieruit dat de kans om de beide configuraties aan te treffen even groot is:
$\Psi ^2(1,2) = \Psi ^2(2,1)$
Na worteltrekken krijgen we dan voor de golffunctie:
$\Psi (1,2) = \pm \Psi (2,1)$
Dit resultaat ontstaat dus doordat we in de quantummechanica een verschil moeten maken tussen een meting van het systeem en de toestand van een systeem. In ons geval is wat we kunnen meten van het systeem gelijk, maar horen daar twee toestanden bij.
Het blijkt dat voor twee elektronen altijd geldt:
$\Psi (1,2) = - \Psi (2,1)$
Dit heet de asymmetrische toestand, omdat bij omwisselen van de deeltjes er een minteken verschijnt. Voor het systeem van figuur 4 kunnen we deze opstellen met de afzonderlijke golffuncties op de volgende manier:
$\Psi _{asym} = \Psi _A(1) \cdot \Psi _B(2) - \Psi _A(2) \cdot \Psi _B(1)$
Als je hierin de deeltjes verwisselt, oftewel 1 en 2 omwisselt, ontstaat:
$\Psi _{asym} = \Psi _A(2) \cdot \Psi _B(1) - \Psi _A(1) \cdot \Psi _B(2)$
$\Psi _{asym} = -(\Psi _A(1)\cdot \Psi _B(2) - \Psi _A(2) \cdot \Psi _B(1)) = - \Psi _{asym}$
Stel nu dat je de deeltjes in dezelfde toestand wilt hebben, oftewel A = B. Dan zie je de gecombineerde golffunctie nu nul wordt, immers:
$\Psi _{asym} = \Psi _A(1) \cdot \Psi _A(2) - \Psi _A(2) \cdot \Psi _A(1)$
$\Psi _{asym} = \Psi _A(1) \cdot \Psi _A(2) - \Psi _A(1) \cdot \Psi _A(2) = 0$
Hier staat dat de golffunctie van deze twee deeltjes in dezelfde toestand niet bestaat, terwijl we de redenering begonnen met twee bestaande deeltjes. Dus bij de asymmetrische golffunctie kan het niet gebeuren dat beide deeltjes zich in dezelfde toestand bevinden. En dat is precies waar het uitsluitingsprincipe van Pauli over gaat. De quantumtoestand die we hier algemeen hebben aangegeven met A (en B) geven in het geval van een atoom aan met (n,l,m,s)
Gevolgen
Elektronen zullen dus niet in dezelfde toestand komen en dat betekent dat je een atoom niet zomaar kan samendrukken. Want dat zou immers betekenen dat meerdere elektronen in lagere banen terechtkomen, dan zitten ze dichter bij de kern en is het atoom kleiner. Maar het Pauliprincipe voorkomt dit en zorgt ervoor dat er een druk ontstaat die samendrukken tegenhoudt. Daar komt nog bij dat vanwege het golfkarakter van deeltjes het sowieso veel energie kost om de quantumtoestanden in een atoom compacter te maken.
Bij een verzameling van atomen, een macroscopische stof, is de situatie wat ingewikkelder. Zoals er onderling ruimte is tussen de atomen, zoals in een gas, kun je de stof wel samendrukken. Maar als de atomen stijf op elkaar gepakt zijn, zoals in een metaal kan dat niet.
Er is overigens wel een zeer extreme situatie waarin atomen wel samengedrukt worden, namelijk in een neutronenster. Daar is de samentrekking door de zwaartekracht zo sterk dat atomen instorten. Maar in dat proces verandert het hele systeem, elektronen en protonen reageren tot neutronen en neutrino’s. De beschreven atomaire quantumtoestand en atomaire quantumgetallen hebben dan geen betekenis meer.
Leeg
Aan het begin noemde ik dat een atoom grotendeels leeg is. Dat betekent zo veel als dat er tussen kern en elektronen niets is. Maar dat is niet zo. In de eerste plaats is niets een onduidelijk begrip, kijk maar eens naar dit filmpje over de negen niveaus van niets.
Verder is het zo dat zowel kern als elektronen worden beschreven met golffuncties en die hebben niet een precieze locatie, ze zijn ‘uitgesmeerd’ in de ruimte. Vanwege het grote verschil in massa neemt die van elektronen veel meer ruimte in dan die van de kern. Rond de kern bevinden zich ruimtevullende ‘wolken’ van kansverdelingen waar het elektron zich kan bevinden, zodat je niet kan zeggen dat het rond de kern leeg is.
Er is dus geen leegte tussen kern en elektronen, sterker nog het woord ‘tussen’ heeft daar geen goede betekenis. Het elektron kan zich immers overal bevinden waar de golffunctie een waarde heeft, bijvoorbeeld ook in de kern.
Met dank aan Lodewijk Koopman voor het waardevolle commentaar.
