Iedereen weet wat gewicht is. Ga op een weegschaal staan en je weet je gewicht. Toch is het niet zo simpel, dat wil zeggen als je het precies en wetenschappelijk wilt definiëren. Maar ook als je het niet volledig fundamenteel wilt doen, is er voldoende ruimte om gewicht nauwkeuriger te bekijken dan als het aflezen van een weegschaal.
Het begin is echter simpel. Als je je gewicht met een weegschaal bepaalt, is dat in de meeste praktische situaties voldoende. Bij een practicum op school bijvoorbeeld, als je de veerconstante moet bepalen. Wat je dan in feite doet is de definitie van gewicht gebruiken die luidt: “gewicht is de kracht die een massa op zijn ondersteuning uitoefent.”
Gewicht op aarde
Dit betekent om te beginnen dat gewicht een kracht is, geen massa zoals het soms in het dagelijks taalgebruik voorkomt. Verder betekent het dat het gewicht gelijk is aan de zwaartekracht van de aarde op een voorwerp met massa $m_1$ .
De formule die deze kracht beschrijft is deze:
$F_z = G \cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$
Dit is de bekende wet van de zwaartekracht van Newton. We kunnen deze formule nog wat vereenvoudigen tot:
$f = m_1\cdot g$
Deze zwaartekracht is de kracht tussen het voorwerp en $m_2$ , de enorme massa van de aarde. In het artikel Zwaartekracht uitgelegd op deze site leg ik uit hoe dat zit.
De aarde draait
Zoals we weten draait de aarde om de noord-zuidas en dat compliceert de boel een beetje. Want we moeten nu ook rekening houden met de middelpuntzoekende kracht $F_{mpz}$ , dat is de kracht die ervoor zorgt dat een massa een cirkelbeweging kan maken. Hoe dat eruit ziet, zie je in figuur 1. Let op: hier is de grootte van $F_{mpz}$ ten opzichte van $F_z$ (de zwaartekracht) sterk overdreven om het effect duidelijk te maken.
De aarde draait in dit plaatje om de as die van C naar de pool loopt. Om het effect van deze draaiing op het gewicht duidelijk te maken, is deze figuur gemaakt met een aantal aannames en benaderingen. De eerste is dat de aarde een perfecte egale bol is met straal R. De tweede is dat de verdeling van de massa van de aarde homogeen is, wat betekent dat de (massa)dichtheid in de aarde overal gelijk is. Eigenlijk is deze tweede aanname niet per se noodzakelijk, we zouden kunnen volstaan met een bolsymmetrische massaverdeling, maar dat voert wat ver. Ten slotte nemen we aan dat de gravitationele invloed van de maan en andere hemellichamen te verwaarlozen is.
Met deze aannames kunnen we stellen dat de zwaartekracht $F_z$ gericht is langs de straal R en een grootte heeft die je kunt berekenen met de zwaartekrachtswet van Newton.
Het gewicht $F_g$ heeft net een iets andere richting. Deze wijst net naast het centrum van de aarde en dat komt door de middelpuntzoekende kracht. In de figuur kun je zien dat de zwaartekracht de vectorsom is van de middelpuntzoekende kracht en he gewicht.
De middelpuntzoekende kracht
Om het voorwerp in P de cirkelbeweging rond de aardas te laten maken is een middelpuntzoekende kracht $F_{mpz}$ nodig. De formule hiervoor is:
$F_{mpz} = \frac{m\cdot v^2}{r}$
Zonder middelpuntzoekende kracht zal een persoon in P in het verlengde van de straal R staan, in de richting van C. Om de middelpuntzoekende kracht op te brengen (dat wil zeggen om de rotatie met de aarde mee te kunnen maken) zal die persoon een klein beetje naar de aardas toe hellen. Oftewel die persoon staat in het verlengde van de lijn die naar het punt B wijst.
Dat is een klein effect. Laten we eens berekenen hoe klein, bijvoorbeeld in Nederland. Het punt P ligt dan op een geografische breedte met de hoek $\alpha = 52^o$ . Je kunt zien dat geldt $cos\alpha = r/R$ , waaruit volgt $r = R\cdot cos\alpha$ . Het punt B heeft een snelheid $v$ waarvoor geldt: $v = 2\pi r/T = 2\pi R \cdot cos\alpha /T$ . Dit geeft voor de middelpuntzoekende kracht:
$F_{mpz} = \frac{m\cdot v^2}{r} = \frac{m\cdot (2\pi R\cdot cos\alpha)^2}{T^2 R\cdot cos\alpha} = \frac{4\pi^2mR\cdot cos\alpha}{T^2}$
Met wat wiskunde, specifiek de sinus en de consinusregel, kunnen we hiermee $\beta$ bepalen. Volgens de cosinusregel geldt namelijk:
$F^2_z = F^2_g + F^2_{mpz} - 2F_gF_z \cdot cos\alpha$
En sinusregel is hier als volgt:
$\frac{F_{mpz}}{sin\beta} = \frac{F_g}{sin\alpha}$ ofwel $sin\beta = \frac{F_{mpz}}{F_g}\cdot sin\alpha$
Voor m=70 kg geeft dit: $\beta = 0,1^o$ .
Twee bijzondere plaatsen
Voor de meeste berekeningen op school kunnen we stellen dat in goede benadering $F_g = F_z$ , omdat 1) $\beta$ klein genoeg is en 2) de exacte berekening van $F_g$ te lastig is. Toch zijn er twee plaatsen op aarde waar we wat meer over kunnen zeggen.
Namelijk als eerste op de polen. Daar geldt $\alpha = 90^o$ en kunnen we $F_z$ wel precies berekenen omdat hij exact gelijk is aan $F_g$ , want immers op de pool geldt: $F_{mpz} = 0$ . De andere plaats is precies op de evenaar, daar geldt $\alpha = 0^o$ waardoor we $F_z$ ook weer precies kunnen berekenen omdat de krachten $F_{mpz}$ , $F_z$ en $F_g$ gelijk gericht zijn en de vectoroptelling vereenvoudigt tot een gewone optelling. Dat kun je begrijpen als je uitgaat van de figuur. Stel je voor wat er gebeurt met de drie krachten ( $F_z$ , $F_g$ en $F_{mpz}$ ) als $\alpha$ steeds kleiner wordt en uiteindelijk 0. Dan wijzen alle drie de krachten in dezelfde richting naar het middelpunt van de aarde. En de groottes hangen als volgt samen: $F_z = F_g + F_{mpz}$ .
De zwaartekracht $F_z$ heeft een waarde die niet afhangt van de draaisnelheide van de aarde. Voor $F_{mpz}$ geldt dit wel, hoe groter de draaisnelheid, hoe groter $F_{mpz}$ en dus hoe kleiner het gewicht $F_g$ . Dit betekent dat je op de evenaar iets lichter bent, oftewel minder gewicht hebt, dan op de pool. Iemand van 70 kg weegt daar 2,36 N minder dan op de pool. De berekening hiervan staat ook in het artikel Zwaartekracht uitgelegd.
Definitie van gewicht
Het is lastig om een eenduidige definitie van gewicht te geven. In dit artikel ben ik uitgegaan van: “gewicht is de kracht die een massa op zijn ondersteuning uitoefent.” Deze definitie is voor situaties en berekeningen van alledaagse verschijnselen de meest praktische.
Dit geeft een probleem als je kijkt naar een voorwerp dat valt en door luchtweerstand een constante snelheid krijgt. Dit is de zogenaamde terminal velocity (in het Nederlands eindsnelheid) van een vallend voorwerp in een medium, zoals bijvoorbeeld een parachutespringer uit een vliegtuig. De tegenwerkende kracht van de lucht op de springer is na enige valtijd gelijk aan haar gewicht als ze op de grond staat. Maar hier is geen ondersteuning.
Je zou ook kunnen zeggen: gewicht is wat je meet met een veerunster. Dat geeft ook problemen bij de parachutespringer. Want waar zit die veerunster aan vast? Als ie meevalt heeft ie geen uitrekking en meet ie niets.
Een andere definitie van gewicht is dat het de kracht is die op een voorwerp werkt als gevolg van de versnelling van de zwaartekracht. Dat geeft een parachutespringer wel gewicht, maar ook als ie net uit het vliegtuig komt en dus nog verwaarloosbare luchtwrijving heeft.
Kortom: het is ingewikkeld. Beter dan naar een exacte definitie te kijken, is het om steeds te analyseren welke krachten in het spel zijn en welke effecten deze hebben. Voor gewicht is dat meestal een situatie met een ondersteuning.
