Niets zo gewoon en tegelijk zo ingewikkeld als zwaartekracht. Het houdt ons op de aarde, het zorgt voor dag en nacht, voor eb en vloed en onze seizoenen. We kennen het dus heel goed uit het dagelijks leven en op hetzelfde moment zit het, als je er dieper over nadenkt, best ingewikkeld in elkaar. Laten we er daarom eens naar kijken. En we gaan ook lekker rekenen…
Zwaartekracht definiëren we als de kracht die twee of meer massa’s op elkaar uitoefenen. We weten eigenlijk niet waar die kracht vandaan komt, wat de reden is dat massa’s elkaar aantrekken, maar ervan uitgaande dat ze dat doen, kunnen we er heel goed mee rekenen.
De Griekse oudheid
Het is dus niet zonder meer vanzelfsprekend dat je begrijpt dat er zoiets als zwaartekracht bestaat, oftewel dat er een reden moet zijn dat we op de aarde staan. Dat doen we nou eenmaal. Net zo min als het logisch is dat lucht gewicht heeft, dat merken we toch immers nooit. Voor dit begrip is de grote denkstap van wetenschappelijke belangstelling en inzicht nodig. Namelijk dat alle verschijnselen een oorzaak hebben. Al in de Griekse oudheid begreep men dat er een oorzaak moet zijn voor het feit dat we op de aarde staan. Oftewel dat zwaartekracht moest bestaan. Het was de filosoof en wetenschapper Aristoteles die daar een theorie over formuleerde. Hij dacht dat de aarde zich in het centrum van het universum bevond en dat daarom voorwerpen omlaag vielen omdat alles naar het centrum toe viel. Het centrum van de aarde was hun ‘natuurlijke plaats’. Een interessante gedachte, maar niet juist en ook niet een waar we mee kunnen rekenen.
Een bekende formule
De bekendste en enorm krachtige formule over de zwaartekracht is die van Newton, en die schrijven we zo:
$F_z = G \: \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$
Waarin de symbolen het volgende betekenen: Fz is de zwaartekracht, m1 en m2 zijn de twee massa's, r is hun onderlinge afstand en G is de gravitatieconstante,
De formule is geldig voor zogenaamde puntmassa’s, dat zijn theoretische objecten met massa, maar zonder grootte. Je kunt bewijzen dat deze formule ook geldig is voor gewone massa met grootte waarbij je dan doet alsof de totale massa geconcentreerd is in het zwaartepunt van het voorwerp, zie figuur 1.
Deze formule kunnen we gebruiken om de zwaartekracht te berekenen die de aarde en een persoon erop (bijvoorbeeld iemand van 60 kg) op elkaar uitoefenen. Je kunt zelf de waarden van de benodigde grootheden opzoeken in bijvoorbeeld BiNaS.
$F_z = 6,674\cdot 10^{-11}\cdot\: \frac{60 \cdot 5,972 \cdot 10^{24}}{(6,371 \cdot 10^6)^2} = 589,2\: \text{N}$
Zwaartekracht en gravitatiekracht
Er is in de natuurkundeles op school soms verwarring over de twee begrippen zwaartekracht en gravitatiekracht (of gravitatie). Gravitatiekracht wordt in schoolboeken vaak gebruikt voor het algemene verschijnsel dat twee massa’s elkaar aantrekken. En bij zwaartekracht gaat het dan over de aantrekkingskracht die een massa ondervindt op het oppervlakte van een hemellichaam, bijvoorbeeld de aarde. De eerder genoemde formule gaat volgens deze definitie dan eigenlijk over gravitatiekracht en voor zwaartekracht gebruiken we een andere formule, namelijk:
$F_z = m \cdot g$
Hierin is g de gravitatieversnelling en m de massa die de kracht ondervindt, in de eerdere formule noemden we die massa m1. Uit beide formules is te zien dat geldt:
$g = G\: \frac{m_2}{r^2}$
waarin m2 de massa en r de straal is van het hemellichaam, de aarde bijvoorbeeld.
Bereken de waarde van g.
$F_z = 6,674 \cdot 10^{-11} \frac{5,972 \cdot 10^{24}}{(6,371\cdot 10^6)^2} = 9,8195 \: m/s^2$
Het wordt nog verwarrender als blijkt dat BiNaS g als een natuurconstante beschouwt met als gevolg dat zwaartekracht en gravitatiekracht niet altijd gelijk zijn aan elkaar. Als je bijvoorbeeld een massa hebt op 1000 km boven de aarde, dan is de zwaartekracht niet veranderd ten opzichte van de kracht op het aardoppervlak, terwijl de gravitatiekracht ongeveer 25% kleiner geworden is.
Maak deze berekening
$g=6,674 \cdot 10^{-11} \frac{5,972\cdot 10^{24}}{((6,371 + 1,000)\cdot 10^6)^2} = 7,3359 \: m/s^2$
Dat is ongeveer 25% minder dan de eerder berekende waarde van g.
Misschien dat men het onderscheid maakt omdat de aarde draait. Stel je (70 kg) staat op de evenaar, dan beweeg je in een cirkel met een snelheid v van:
$v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \cdot 6,378 \cdot 10^6}{24 \cdot 3600} = 4,638 \cdot 10^2 \: m/s$
Dit geeft een centripetale kracht van 2,36 N. Dat betekent dat de zwaartekracht die je voelt 0,3% minder is dan wanneer je op de zuidpool staat waar je niet in een cirkel beweegt.
Maak deze berekening
De centripetale, of middelpuntzoekende, kracht is: $F_{mpz} = \frac{m v^2}{r} = \frac{70 \cdot (4,64 \cdot 10^2)^2}{6,378 \cdot 10^6} = 2,36 \: N$
De zwaartekracht is ongeveer $F_z = 685\: N$ . Dus de middelpuntzoekende kracht is inderdaad ongeveer 0,3% hiervan.
Maar al met al: dat deze twee woorden gebruikt worden is eigenlijk onnodig. In het overgrote deel van de stof en opgaven op school doet het verschil er niet toe. In het enkele geval dat het er wel toe doet, wordt dat expliciet vermeld of kun je het uit de context opmaken. En in beide gevallen snap je wat er aan de hand is zonder dit onderscheid.
Het zou beter zijn alleen zwaartekracht als begrip te gebruiken en het woord te beschouwen als een vertaling van het Engelse woord gravity, of gravitational force. Een docent zal je voor het door elkaar gebruiken van deze woorden heus geen puntenaftrek op toetsen geven.
Zwaartekracht en gewicht
Twee andere begrippen die ook weleens voor verwarring zorgen, maar waar het onderscheid er wel toe doet, zijn zwaartekracht en gewicht. Onder gewicht verstaan we de kracht die een massa op zijn ondersteuning uitoefent, op aarde is dat de zwaartekracht. Dat wil zeggen, ongeveer. Want zoals gezegd, de draaiing van de aarde gooit roet in het eten.
De berekening die we hier eerder voor maakten is zelf ook niet helemaal juist, omdat we aangenomen hebben dat de straal van de aarde overal dezelfde waarde heeft. En dat is niet zo; op de polen is die 6357 km en op de evenaar is die 6378 km (deze waarden vind je onder andere in BiNaS). Dat komt omdat door de draaiing de aarde ietsje van vorm verandert. Het is geen perfecte bol, maar langs de draaias iets ingedeukt. Op de evenaar is je gewicht daarom nog een klein beetje minder dan op de polen.
Overigens zijn er nog meer correcties te maken op dit resultaat. We zijn er steeds van uitgegaan dat de aarde een homogene en uniforme massaverdeling heeft. Dat is niet zo. Wil je nog nauwkeuriger rekenen dan moet je er rekening mee houden dat er op het zuidelijk halfrond meer water is dan op het noordelijk halfrond waar je meer landmassa hebt. Dit verschil betekent dat de zwaartekracht op het zuidelijk halfrond iets kleiner is dan op het noordelijk halfrond.
Ook de aanwezigheid van bergen zorgt voor een kleine verandering van de zwaartekracht. En hoe klein ook, deze invloed van bergen is wel gebruikt om de eerste meting te doen van de massa van de aarde.
Massa en gewicht
Als we zeggen dat het gewicht van een pak melk ongeveer 1 kg is, maken we natuurkundig gezien een fout. Deze fout staat los van zwaartekracht, maar komt wel vaak voor in relatie tot de zwaartekracht.
Massa is de hoeveelheid materie die in een voorwerp zit, gewicht is de kracht (meestal door de zwaartekracht) die op dat voorwerp wordt uit geoefend. Op het aardoppervlak is het verschil ongeveer een factor 10 (de 9,81 van valversnelling, die we voor het gemak en voor een snelle benadering nu even gelijkstellen aan 10). De massa van 1 kg heeft dus een gewicht van ongeveer 10 N. Inderdaad met de eenheid Newton, want gewicht is een kracht.
Dat verschil merkt men in de ruimte, bijvoorbeeld in het ISS. De bemanning heeft uiteraard nog steeds massa, maar geen gewicht. Dat komt omdat de zwaartekracht precies gelijk is aan de centripetale kracht.
Het ISS bevindt zich op ongeveer 400 km hoogte, hoe groot is dan de snelheid?
Hiervoor gebruiken we dat de zwaartekracht precies gelijk is aan de centripetale kracht, ofwel: $F_z = F_{mpz}$
Dus $G\: \frac{m_{ISS}\cdot m_{aarde}}{r_{ISS}^2} = \frac{m_{ISS}\cdot v_{ISS}^2}{r_{ISS}}$
Vereenvoudigen en invullen levert: $v_{ISS} = \sqrt{\frac{G\cdot m_{aarde}}{r_{ISS}}} = \sqrt{\frac{6,674 \cdot 10^{-11} \cdot 5,972 \cdot 10^{24}}{(6,371 + 0,400) \cdot 10^6}} = 7,67 \cdot 10^3\: m/s$
Sterkte van de zwaartekracht
De zwaartekracht is een van de vier fundamentele krachten die we kennen. Van deze vier is het de zwakste kracht. Dat hij zwak is weten we eigenlijk ook wel uit het dagelijks leven. De zwaartekracht is niet in staat de massa in een steen bij elkaar te houden. Als je twee stenen tegen elkaar houdt blijven ze niet aan elkaar vastzitten. Alleen als we hele grote massa’s hebben, denk aan planeten en sterren, dan is de zwaartekracht wel in staat om die bij elkaar te houden. Gelukkig kennen we een veel sterkere kracht die een steen wel bij elkaar houdt, en dat is de elektromagnetische kracht tussen atomen en in moleculen.
Hoewel de zwaartekracht zwak is, is hij wel bijna alles bepalend in het heelal. Dat komt omdat de veel sterkere kernkracht een extreem korte dracht heeft en er dus hoofdzakelijk ‘alleen maar’ voor zorgt dat atoomkernen bij elkaar blijven. Van de minder sterke elektromagnetische kracht merken we alleen wat als er een resulterende lading is. Aangezien in het heelal de meeste voorwerpen van enig omvang elektrisch neutraal zijn, speelt daarom in het heelal vooral de zwakste kracht, de zwaartekracht, een rol.
