De negenproef is een kwestie van (modulo 9)-rekenen. Wat dat is, leren we je in dit artikel. Daarbij leer je begrijpen dat dit betekent:
In figuur 1 zie je een voorbeeld van hoe de negenproef werkt bij optellen.
Je ziet dat de controle niets anders is dan het nogmaals maken van de rekensom, maar nu met veel kleinere getallen. Die getallen zijn altijd cijfers onder de 9, vandaar de naam negenproef. De cijfers komen voort uit de getallen van je rekensom zelf. Ze worden verkregen door herhaald optellen van cijfers waaruit een getal bestaat.
Wil je meer lezen over het toepassen van de negenproef of wil je ook voorbeelden zien bij aftrekken, vermenigvuldigen of delen, ga dan naar dit artikel op Sciencespace.
Dit artikel geeft antwoord op de vraag wat je aan het doen bent bij het bepalen van dat cijfer onder de 9. Om het antwoord te vinden moet je iets weten van modulo-rekenen.
Modulo-rekenen
Modulo-rekenen doe je altijd ten opzichte van een geheel getal m, de modulus genaamd. Om van een getal de (modulo m)-waarde te vinden verminder of vermeerder je dat getal net zo vaak met m totdat je uitkomt tussen 0 en (m-1). Bijvoorbeeld:
3 = 18 (mod 5) 6 = 486 (mod 12) 5 = -13 (mod 9) 7 = -243 (mod 25)
Je kunt dat ook anders zeggen: Als a = b(mod m) dan kun je b schrijven als b = a + k.m (met k een geheel getal).
Met deze schrijfwijze is het niet moeilijk om regels af te leiden die gelden voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. In figuur 2 staan deze regels samengevat.
De negenproef
De vraag was: “Wat ben je in de negenproef aan het doen bij het bepalen van dat cijfer onder de 9?”
Dat cijfer blijkt de modulo 9-waarde te zijn van het getal waaruit het voortkomt.
Hoe wonderlijk is dat! Het bewijs van deze bewering zie je in figuur 3 waarin voor een willekeurig getal G, bestaande uit drie cijfers, de modulo 9-waarde wordt uitgerekend.
Laten we die drie cijfers a, b en c noemen dus:
G=abc (a, b en c zijn cijfers tussen 0 en 9).
Dus als je alle cijfers waaruit een getal is opgebouwd bij elkaar optelt, heb je de modulo 9-waarde van dat getal te pakken.
Verder is gemakkelijk in te zien dat
· je dóór moet gaan met optellen als het resultaat groter is dan 9;
· je het cijfer 9 in de optelling kunt weglaten, omdat 9 (mod 9) = 0;
· je twee of meerdere cijfers die opgeteld 9 zijn om dezelfde reden ook kunt weglaten;
· dit allemaal ook geldt als het getal G bestaat uit meer dan drie cijfers.
Een uitgewerkt voorbeeld zie je in figuur 4.
Ok, we zijn eruit, want nu begrijp je wat je in feite doet bij het toepassen van de negenproef:
1. Je rekent van de twee getallen A en B van je rekensom en van het antwoord C (en R bij delen) de modulo 9-waarden uit.
2. Vervolgens controleer je met deze waarden of de bijbehorende rekenregel uit figuur 2 klopt. Klopt hij niet dan heb je zeker een rekenfout gemaakt. (Als hij wel klopt, heb je waarschijnlijk goed gerekend, maar een garantie is het niet)
Nog andere snelle proeven?
De negenproef pretendeert een snelle proef te zijn. Wat maakt de negenproef zo snel? Waarschijnlijk heb je zelf al ontdekt waar het snelle in zit. Juist ja, het zit hem in de twee regels met het groene lachbekje van figuur 3. Hierin staat 10 (mod 9)=1, waarmee het uitrekenen van modulo 9 een gemakkelijke klus wordt.
Niet alleen met modulo 9 kun je op een gemakkelijke manier je rekenwerk controleren. Er zijn nog andere modulus-getallen waarmee dat lukt. Zie je welke?
Je kunt hier controleren of je het goed hebt.
Ook berekeningen met (mod 3), (mod 5) en (mod 10) geven een gemakkelijk te berekenen resultaat. Immers:
· Ook 10(mod 3)=1
Dus dezelfde rekenwijze als bij (mod 9): alle cijfers net zolang optellen dat je uitkomt op een cijfer onder de 3. Alle cijfers 3 of die opgeteld 3 zijn kun je weglaten.
De negenproef heeft wel een voordeel ten opzichte van de drieproef. Bij het optellen van cijfers om 9 te krijgen zijn er meer mogelijkheden dan om 3 te krijgen. Dus bij de negenproef is de kans groter dat je bij het optellen cijfers kunt weglaten.
· 10(mod 5)= 0
In dat geval is in figuur 3 abc(mod 5)=c(mod 5).
Het uitrekenen van (mod 5)-waarde van een getal wordt nu wel heel gemakkelijk, namelijk het laatste cijfer van dat getal.
Het grote nadeel van de vijfproef is dat er slechts één cijfer van elk getal meedoet in de controleberekening. Daarmee wordt de kans groter dat er toch een fout zit in je berekening terwijl de vijfproef klopt.
· 10(mod 10)=0
Dus ook nu gaat het, net als bij (mod 5), alleen om het laatste cijfer van elk getal. Om dezelfde reden als bij de vijfproef is ook de tienproef minder betrouwbaar.
