Extreme objecten
Zwarte gaten zijn echt extreem in vele opzichten: ze zijn extreem compact, krommen de ruimte-tijd extreem, en zijn extreem simpel. Wacht, wat? Extreem simpel zeg je? Ja! Want hoewel deze objecten er in vele soorten en maten zijn (het lichtste zwarte gat dat we waargenomen hebben, heeft ongeveer dezelfde massa als de zon en het zwaarste zwarte gat heeft een massa die meer dan 60 miljard (!) keer groter is dan de massa van de zon), is er maar één soort zwart gat. Als je de massa van een zwart gat weet en hoe snel het zwarte gat ronddraait, ook wel de spin van een zwart gat genoemd, weet je alles wat er over een zwart gat te weten is. Dit staat bekend als de “no-hair theorem”, als je deze twee getallen weet van een zwart gat, kan je alle andere eigenschappen van een zwart gat berekenen. Een zwart gat heeft geen haar (“no hair”), dat wil zeggen geen andere fundamentele eigenschappen dan deze twee.
Dit is een van de redenen waarom de beroemde astrofysicus Chandrasekhar zei dat zwarte gaten de meest perfecte macroscopische objecten in ons universum zijn. De andere reden is dat zwarte gaten hele “pure” objecten zijn: ze zijn alleen gemaakt van ruimte en tijd.[1] Dit klinkt misschien vreemd, want we weten dat zwarte gaten worden gevormd als bijvoorbeeld twee compacte objecten zoals neutronen sterren met elkaar bosten. De neutronen sterren bevatten veel materie, dus je zou verwachten dat een zwart gat ook gemaakt is van veel materie én ruimte en tijd. Dat is dus niet zo! Alle materie in zo’n botsing wordt omgezet in een extreme kromming van de ruimte-tijd en het eind product is een zwart gat. Gaaf hé? Laten we die kromming van de ruimte-tijd eens nader bekijken.
Ruimte-tijd en lichtkegels
Een van Einstein’s inzichten was dat ruimte en tijd met elkaar verbonden zijn, zo erg zelfs dat je eigenlijk beter kan spreken over ruimte-tijd in plaats van ruimte en tijd los. Onder ruimte verstaan we hier de plaats waar iets zich bevindt. Om dit te visualiseren gaan we werken met ruimte-tijddiagrammen. Dus in plaats van een ruimte-ruimtediagram zoals aan de linkerkant in figuur 1, kunnen we dezelfde situatie ook afbeelden met een ruimte-tijddiagram zoals in de rechterkant.
Het ruimte-tijddiagram laat zien dat de linker en rechter personen niet bewegen (hun x-coordinaat blijft constant) en dat de bal van de een naar de ander wordt gegooid. In het ruimte-tijddiagram kan je ook makkelijk de snelheid van een object uitrekenen door naar de helling van het diagram te kijken, of beter gezegd 1/helling (zie figuur 2). Let op: in dit soort ruimte-tijddiagrammen is het gebruikelijk de tijdcoördinaat op de verticale as te zetten en de plaatscoördinaat op de horizontale as, precies andersom als je het op school bij bewegingen leert.
Nu hebben tijd en ruimte andere eenheden, bijvoorbeeld: tijd wordt gemeten in seconden en ruimte in meters. Dat is enigszins onhandig, en om ervoor te zorgen dat beide assen dezelfde eenheid hebben vermenigvuldigen we de tijdsas met een snelheid. “Welke snelheid?” vraag je je dan terecht af. Gelukkig is er een speciale snelheid in algemene relativiteitstheorie (en ook in speciale relativiteitstheorie): de snelheid van het licht, vaak aangegeven met de letter c. Dus we hebben nu op de verticale as: c*t, zoals in figuur 3. Tijd wordt nu niet meer gemeten in seconden, maar in de afstand lichtseconde, de afstand die het licht in 1 seconde aflegt. Licht reist nu langs de lijnen die een hoek van 45 graden maken met de ruimteas (en dus ook de tijdas).
Aangezien niets sneller kan gaan dan het licht, kan de persoon in figuur 4 dus de punten D, E en F niet bereiken, maar wel A,B en C. De lichtlijnen worden ook wel de lichtkegel genoemd, want als je een tweede ruimteas inbeeldt zie je dat de gele lijnen in figuur 4 een kegel vormen (figuur 5).
Afstanden meten in ruimte-tijd
Je kan ook afstanden meten in deze ruimte-tijddiagrammen. Je kent vast de stelling van Pythagoras, waarmee je afstanden in driehoeken kan berekenen:
$\Delta s^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$
waarbij de lengte van de schuine as in een driehoek is en en de lengtes van andere twee zijden. Deze formule geldt in twee dimensies, zie figuur 6. Dit gaan we nu generaliseren naar vier dimensies: drie ruimtedimensies (x, y en z) en een tijddimensie t. Als je geen gekromde ruimte-tijd hebt, dan is de formule om ruimte-tijd afstanden te meten heel vergelijkbaar:
$\Delta s^2 = - c^2\Delta t^2 + \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2$
Er is hier wel een heel belangrijk verschil: de 'afstand' in de tijd heeft een min teken in de formule. Als gevolg daarvan kun je dus negatieve “afstanden” hebben. Een voorbeeld: Een persoon die niet beweegt heeft $\Delta x=\Delta y=\Delta z=0$ , maar $\Delta t\neq 0$ en dus meten we een negatieve ruimte-tijd afstand. In feite, alle objecten die minder snel dan de snelheid van het licht bewegen hebben een negatieve ruimte-tijdafstand. Licht zelf heeft altijd precies nul als ruimte-tij afstand (dus $\Delta s=0$ ). Dit kan je zien, door bijvoorbeeld te kijken naar een een lichtstraal die langs de x-as beweegt, zodat en . Langs de x-as, legt die lichtstraal precies één lichtseconde af in één seconde, ofwel de verplaating in ct is gelijk aan die in x. Daarom geldt $\Delta s=0$ . Als je sneller dan de lichtsnelheid zou kunnen gaan, dan zou je een positieve ruimte-tijdafstand hebben.
Lichtkegels in de buurt van zwarte gaten
Nu wordt het pas echt interessant. De formule voor het berekenen van ruimte-tijdafstanden, verandert namelijk als je een zwart gat hebt. We gaan dit doen in nieuwe coördinaten, de zogenaamde bolcoördinaten. Ieder punt in de ruimte kun je weergeven met de gebruikelijke coördinaten (x, y, z), dit noemen we Cartesische coördinaten. Maar je kunt ook kiezen voor de zogenaamde bolcoördinaten (r, θ, φ). Dit staat kort uitgelegd op Wikipedia.
Met deze bolcoördinaten wordt de formule voor ruimte-tijdafstanden in niet gekromde ruimte-tijd:
$\Delta s^2 = - c^2\Delta t^2 + \Delta r^2+r^2\Delta \theta ^2 + r^2\sin ^2\theta \Delta \varphi ^2$
Maar wanneer we naar de ruimte-tijd formule voor een niet-roterend zwart gat kijken, dan is die
$\Delta s^2 = -\left ( 1-\frac{2GM}{c^2r} \right )c^2\Delta t^2 + \frac{1}{\left ( 1-\frac{2GM}{c^2r} \right )}\Delta r^2+r^2\Delta \theta ^2 + r^2 \sin ^2\theta \Delta \varphi ^2$
waarbij G Newtons constante is en M de massa van het zwarte gat. (Deze formule lijkt nu een beetje uit de lucht te vallen, maar kan je afleiden van Einsteins vergelijkingen.) Door de extra term met M, zorgt een zwart gat er dus voor dat ruimte-tijd vervormd wordt: de waardes die we met $c^2\Delta t^2$ en $\Delta r^2$ vermenigvuldigen zijn veranderd, er is een extra factor voorgekomen, ofwel de ruimte-tijd afstanden zijn veranderd in de buurt van een zwart gat. Als je ver weg bent van het zwarte gat (dus als r groot is), dan is de ruimte-tijd niet sterk gekromd door het zwarte gat, maar hoe dichterbij je komt (dus hoe kleiner r is), hoe groter het effect van het zwarte gat op afstanden die je meet. Je ziet ook dat er een speciale r-waarde is, waarbij de functie voor $c^2\Delta t^2$ precies nul is, namelijk $r = 2GM/c^2$ . Dit noemen we de waarnemingshorizon en intuïtief is dat de grens van een zwart gat.
Als we ons nu afvragen hoe licht reist, dan geldt (zoals eerder uitgelegd) $\Delta s=0$ , ofwel dan moeten we kijken naar $\Delta s^2=0$ .Laten we voor het gemak constante $\theta$ en $\varphi$ kiezen (dus $\Delta \theta =\Delta \varphi =0$ , dan moeten we dus de volgende vergelijking oplossen:
$0=-\left ( 1-\frac{2GM}{c^2r} \right )c^2\Delta t^2+\frac{1}{\left ( 1-\frac{2GM}{c^2r} \right )}\Delta r^2$
Met een beetje algebra, zien we dat:
$\frac{c\Delta t}{\Delta r}= \pm\frac{1}{\left ( 1-\frac{2GM}{c^2r} \right )}$
Ofwel de helling van licht is niet meer 1, maar door het zwarte gat wordt de positieve helling altijd iets groter dan 1 en de negatieve helling minder dan -1. Hoe zwarte gaten de lichtkegels veranderen is geïllustreerd in figuur 7.
De waarnemingshorizon
Nu is natuurlijk de grote vraag: wat gebeurt er op de waarnemingshorizon van een zwart gat? Helaas kunnen we dat niet zeggen aan de hand van de formule voor de ruimte-tijd afstand hierboven. Waarom niet? Afstanden worden oneindig als $r = 2GM/c^2$ vanwege de term voor . $\Delta r$ . Gelukkig wordt er niets werkelijk oneindig: we hebben gewoon de verkeerde coördinaten gekozen om dit te beschrijven. De oplossing is dan ook simpel: andere coördinaten kiezen. Als je coördinaten kiest die wel goed zijn op de horizon, dan zie je dat de lichtkegels smaller worden in de buurt van het zwarte gat én worden gekanteld. Op de horizon van het zwarte gat (waar persoon 1 is), is de lichtkegel zelfs zover gekanteld dat de toekomst alleen nog maar binnen het zwarte gat is. Je kan er niet meer uit, en ook licht niet! Dit verklaart ook waarom niets uit een zwart gat kan ontsnappen, want niets kan sneller dan het licht en licht kan niet voorbij de horizon. En dat is waar zwarte gaten hun naam aan te danken hebben.
Fig. 8 Het zwarte gat zorgt ervoor dat de lichtkegels smaller worden en worden omgebogen. Op de horizon zijn de lichtkegels zelfs zover omgebogen dat licht niet meer voorbij de waarnemingshorizon kan.
Hoe kunnen we zwarte gaten zien?
Nu weet je precies waarom niks een zwart gat kan ontsnappen, zelfs licht niet! Om zelf verder over na te denken: Als we geen licht van een zwart gat ontvangen, hoe kunnen we dan weten dat zwarte gaten bestaan?
Bonus: de geschiedenis van ontdekking van zwarte gaten
Wist is trouwens dat de oplossing voor een niet-roterend zwart gat door de Nederlandse Johannes Droste (niet gerelateerd aan de cacaopoeder) én Duitse Karl Schwarzschild rond dezelfde tijd ontdekt was? Ter ere van Schwarzschild, noemen we niet-roterende zwarte gaten Schwarzschild zwarte gaten. Deze ontdekkingen waren minder dan een jaar nadat Einstein de algemene relativiteitstheorie publiceerde. Het duurde echter tot 1963 voordat de oplossing voor een roterend zwart gat werd gevonden (zo ingewikkeld zijn de vergelijkingen in algemene relativiteitstheorie!). Eerst werden zwarte gaten puur en alleen als wiskundige oplossingen gezien, maar geloofden de meeste natuur- en sterrenkundigen niet dat ze echt zouden bestaan. Dat veranderde langzaam en het eerste zwarte gat dat werd ontdekt was Cygnus X-1 in 1971.
[1] De exacte quote is: “The black holes of nature are the most perfect macroscopic objects there are in the universe: the only elements in their construction are our concepts of space and time.”
