Quantumverstrengeling deel 2

Bij quantumverstrengeling delen twee ruimtelijk gescheiden quantumdeeltjes een gezamenlijke toestand. Bijvoorbeeld twee verstrengelde fotonen: blijkt het ene foton verticaal gepolariseerd, dan weet je onmiddellijk dat het andere horizontaal gepolariseerd is (zie deel 1). De quantumtheorie stelt dat de fotonen die toestand bij meten krijgen. Volgens Einstein, Podolski en Rosen (EPR) hadden de fotonen die eigenschap al, ze waren alleen voor ons verborgen. In dit deel kijken we naar welk experiment we kunnen doen om te beslissen wie er gelijk heeft.

De ongelijkheid van Bell [1]

John Bell kwam in 1964 met een duidelijk idee hoe de stelling van EPR experimenteel getest zou kunnen worden. Bell stelde metingen voor die volgens de quantumtheorie andere uitkomsten zouden moeten geven dan in de theorie van EPR: een quantumtheorie met verborgen variabelen. Ter herinnering, in de opzet van EPR meet je de polarisatie van twee verstrengelde fotonen die uit elkaar zijn gevlogen. Belangrijk daarbij is: je meet van beide fotonen de polarisatie in dezelfde richting.

De slimme zet van Bell was om het linker foton te meten met een H/V-polarisator en het rechter met een polarisator die onder een bepaalde hoek is gedraaid. Bijvoorbeeld over een hoek van 45°. Je krijgt dan een +45°/−45°-polarisator. Nu geldt klassiek (denk weer aan golven) dat een vector die in de V-richting wijst op te delen is in één vector in de +45°-richting en één vector in de −45°-richting (figuur 1).

Quantummechanisch: als je een V-foton in de ±45°-richting meet, dan zijn er twee mogelijke uitkomsten, beide met gelijke kans: of je meet een +45°-foton, of je meet een −45°-foton. In een vergelijking:
 
            |V-foton⟩ = ½√2 · |+45°⟩ + ½√2 · |−45°⟩
 
Meer algemeen kun je onder een willekeurige hoek φ ten opzichte van de horizontale richting meten (figuur 2a). Dan krijg je:
 
            |V-foton⟩ = sin(φ) · |φ₊⟩ + cos(φ) · |φ₋⟩         (1)

Dus als je links een H-foton meet, dan zou je rechts een V-foton hebben kunnen meten. Maar als je in plaats daarvan je polarisatorfilter onder een hoek φ draait, dan kun je met een kans van sin2(φ) een φ₊-foton meten en met een kans van cos2(φ) een φ₋-foton [2]. Voor een H-foton kun je iets soortgelijks doen (figuur 2b), dan krijg je:
 
            |H-foton⟩ = cos(φ) · |φ₊⟩ + sin(φ) · |φ₋⟩         (2)
 
Een voorbeeld: je gebruikt links een H/V-polarisatorfilter. Je meet een H-foton (+). Rechts zou je dus een V-foton (−) hebben gemeten. Maar in plaats daarvan heb je je polarisator onder een hoek φ gedraaid. Volgens vergelijking (1) zou je dan met een kans van sin2(φ) een φ₊-foton meten en met een kans van cos2(φ) een φ₋-foton. Je meet daadwerkelijk een φ₊-foton en noteert dus een ‘+’.  Je herhaalt dit. Links meet je vervolgens V (−) en rechts meet je weer een φ₊-foton (+). Tabel 1 laat deze metingen zien.

Tabel 1: Metingen aan de linker fotonen met een H/V-filter en de rechter fotonen met een filter gedraaid onder een hoek φ.

Voor de duidelijkheid staan in de derde kolom van tabel 1 de metingen die je zou hebben gekregen als je daar ook een H/V-polarisator had gebruikt. Je kunt die uitkomsten alleen voorspellen op basis van de uitkomsten links doordat de fotonen verstrengeld zijn. Je kunt ze niet tegelijk met de φ-richting meten. Dat is in de quantumtheorie verboden en heeft te maken met Heisenbergs onbepaaldheidsrelatie.

Om te zien wat hier bijzonder aan is, is het handig de resultaten ook nog op een andere manier te beschrijven. Als je links en rechts een H/V-filter gebruikt, dan zijn je uitkomsten altijd tegengesteld: iedere keer dat je links + meet, meet je rechts −. Maar als je je filter rechts onder een hoek van φ-graden draait, dan werkt dit niet meer zo mooi. Bij φ = 30° meet je in slechts driekwart van de gevallen − als je links + meet. Van de zes metingen in tabel 1 is echter de helft tegengesteld en niet driekwart. Je moet dit dus heel vaak herhalen om het patroon van ¾ tegengestelde metingen te kunnen zien. En er mag weinig mis gaan: je wilt alle fotonen meten die worden uitgezonden.

Dit kun je nog één stap verder nemen door in een derde richting te meten, waarbij de hoek met de horizontaal gelijk is aan θ. Het idee is weer precies hetzelfde, dus er geldt:
 
            |V-foton⟩ = sin(θ) · |θ₊⟩ + cos(θ) · |θ₋⟩           (3)
            |H-foton⟩ = cos(θ) · |θ₊⟩ + sin(θ) · |θ₋⟩          (4)
 
Nu voeren we drie soorten experimenten uit (Tabel 2).

Tabel 2: Drie soorten experimenten.

In elk van die experimenten meet je links en rechts de polarisatierichting van de fotonen. Als je links de polarisatierichting meet, dan weet je ook welke richting je zou hebben kunnen meten als je dezelfde polarisatiefilter gebruikt. Voor het vervolg is het makkelijker om alles te noteren op basis van wat er rechts gebeurt.[LK1]  Je telt de volgende combinaties:
Het aantal keer dat het foton zich rechts in de H (+) toestand bevindt (links meet je dus V) en je φ+ meet. Dit aantal noem je n(h,φ₊).
Het aantal keer dat het foton zich rechts in de H (+) toestand bevindt (links meet je dus V) en je θ+ meet. Dit aantal noem je n(h,θ₊).
Het aantal keer dat het foton zich rechts in de φ₋ toestand bevindt (links meet je dus φ₊) en je θ₊ meet. Dit aantal noem je n(φ₋,θ₊).

Als er op een of andere manier verborgen variabelen zijn en de fotonen kunnen elkaar niet op afstand beïnvloeden, dan moet volgens Bell het volgende gelden:
 
            n(h,φ₊) + n(φ₋,θ₊) − n(h,θ₊) ≥ 0         (4)
 
Dit is de beroemde ongelijkheid van Bell. Waarom dit zo is, kun je in opgave 1 nagaan. De essentie is als volgt: volgens EPR hebben de fotonen een verborgen variabele, een stickertje, waarop staat of ze ‘+’ of ‘−’ zijn, afhankelijk van de richting waarin je meet. Praktisch gezien is het misschien wat lastig voor te stellen, want je kunt in heel veel verschillende richtingen meten. Maar het zou best mogelijk kunnen zijn dat je dan voor al die richtingen de fotonen een eigenschap meegeeft die bepaalt hoe ze zullen reageren op een bepaalde polarisatierichting. De ongelijkheid komt hier vandaan: je kunt je polarisatiefilter na uitzenden nog snel draaien en ook dan moet EPR de uitkomst voorspellen. Dat legt een belangrijke beperking op voor de mogelijke meetuitkomsten.

Wat zegt nu de quantumtheorie? Op basis van vergelijkingen (1) t/m (4) kun je afleiden wat de quantumtheorie voorspelt (opgave 2). Als je in totaal N keer meet, dan verwacht je de volgende aantallen:
            n(h,φ₊) = ½N·cos²(φ)
            n(h,θ₊) = ½N·cos²(θ)
            n(φ₋,θ₊) = ½N·sin²(θ − φ)

Dit kun je invullen in de Bell-ongelijkheid (deel door ½N):
 
            cos²(φ) + sin²(θ − φ) − cos²(θ) ≥ 0
 
Maar de linkerkant van de ongelijkheid is niet altijd groter of gelijk aan nul! Dat kun je zien als je kiest φ = 3θ:
 
            cos²(3θ) + sin²(2θ) − cos²(θ) ≥ 0
 
De grafiek van de linkerkant staat in figuur 3. Je ziet dat de Bellongelijkheid voor hoeken tussen 0 en 30° geschonden wordt. Daar wordt het dus interessant! EPR voorspelt dat de uitkomst van het linkerlid van (7) altijd groter is dan nul. Maar als je iets negatiefs vindt, dan klopt EPR niet.

Het experiment

Tot zover de voorspelling, maar wat zegt het experiment? Bedenk eerst dat het knap lastig is dit goed in een experiment te testen. Er zijn heel veel praktische problemen. Ten eerste moeten de twee fotonen de juiste kant op worden gestuurd. Voordat ze gemeten worden, mogen ze niet beïnvloed worden. En als de fotonen je detector ingaan, dan wil je het liefst dat ze in 100% van de gevallen ook echt waargenomen worden en ook nog zo dat hun toestand goed bepaald wordt. Een foton heeft echter maar heel weinig energie, dus het is lastig om met één foton een detector in één (H) of een andere (V) toestand te laten uitslaan.

Het eerste experiment naar de Bellongelijkheid is uitgevoerd door John Clauser en Stuart Freeman in 1972, dus pas acht jaar nadat Bell zijn ongelijkheid had gepubliceerd. De uitkomst was in het voordeel van de quantumtheorie. Maar er was kritiek: de detectoren (bij ons de polarisatiefilters) waren van te voren al ingesteld in een bepaalde hoek. Wat nu als de fotonen bij vertrek daardoor al beïnvloed waren? Bovendien werden niet alle fotonen gemeten. Wat nu als precies die fotonen gemeten zouden worden die wel met quantum, maar niet met EPR overeenkomen?

Alain Aspect en zijn team probeerden in 1982 voor een aantal van die problemen een oplossing te vinden. Bijvoorbeeld door de stand van de detectoren pas te kiezen nadat de fotonen vertrokken waren. Fotonen gaan heel snel! Dus dat schakelen moest ook razendsnel gebeuren. Ook zijn experiment liet zien dat de voorspelling van quantum juist was en dat er geen verborgen variabelen konden zijn, zonder communicatie sneller dan het licht.

Toch bleven er kleine gaatjes in de experimentele opzet zitten. Dit worden loop holes genoemd. In 2015, dus 80 jaar na het EPR-artikel, lukte het een team van de TU Delft, onder leiding van Ronald Hanson (website) om alle loop holes te dichten. Kort daarna verschenen er gelijke resultaten van teams uit Oostenrijk en de VS. De conclusie bleef overeind: de verstrengelde fotonen krijgen hun polarisatie pas als je ze waarneemt, er zijn geen lokale verborgen variabelen.

Hippies

Het had niet veel gescheeld, of de Bell ongelijkheid was nooit getest. In zijn boek over de geschiedenis van de quantumtheorie beschrijft David Kaiser (2012) heel mooi hoe er na de Tweede Wereldoorlog behoefte was aan technisch geschoolde mensen. Natuurkundigen moesten vooral praktische zaken kunnen uitrekenen. Alle filosofische vragen en discussies zoals die tussen Einstein en Bohr over de betekenis van de quantumtheorie raakten op de achtergrond. In de jaren 1960 werd het materialisme van de westerse samenleving door hippies ter discussie gesteld. Misschien ook wel doordat er minder werk voor hen was, gingen natuurkundigen weer nadenken over de betekenis van de quantumtheorie. Nu nog kun je veel boekjes en video’s vinden over bijvoorbeeld zen, boeddhisme en quantum. Telepathie zou te verklaren zijn met de uitgebreidheid van de golffunctie. ‘Alles is verbonden’, dat soort gedachten. Al snel ontstond er een tweedeling tussen ‘serieuze’ natuurkundigen die gewoon dingen bleven uitrekenen en vage, zweverige types die de quantumtheorie misbruikten om hun onwetenschappelijk theorieën mee te ‘bewijzen’.

Toch bleven de ‘hippies’ goede vragen stellen, waar de mainstream natuurkunde niet altijd goed antwoord op wist. Zo bedacht Nick Herbert in 1982 FLASH, een machine op basis van EPR-metingen waarmee je sneller dan het licht kunt communiceren, verboden door Einstein. De enige voorwaarde: je moet de verstrengelde quantumtoestand eindeloos kunnen kopiëren. Dus in plaats van twee verstrengelde fotonen, samen in één toestand, zou je heel veel paren van verstrengelde fotonen moeten kunnen maken, allemaal in een identieke verstrengelde toestand. Communicatie sneller dan het licht zorgt voor allemaal causaliteitsproblemen. Leuk voor sciencefictionseries en -films, maar zorgelijk voor ons wetenschappelijke begrip van de wereld. Gelukkig lieten Wootters en Zurek later in 1982 zien dat juist het kopiëren van een verstrengelde quantumtoestand, klonen dus, niet mogelijk is [3]. Wil je meer lezen over dat klonen en over causaliteitsproblemen? Dat kan hier.

Toepassingen

Daarmee was de kous af zou je denken. De no-clone stelling van Wootters en Zurek had echter een onverwachtse toepassing. Andere slimmeriken bedachten zich dat het niet klonen van een verstrengelde quantumtoestand juist een voordeel is. Je kunt er namelijk geheime informatie mee delen. Het maakt quantumversleuteling van informatie mogelijk. Dat is belangrijk, omdat vrijwel alle huidige versleutelingstechnieken gebaseerd zijn op grote priemgetallen. Die kun je niet makkelijk vinden met een klassieke computer, maar (theoretisch) heel makkelijk met een quantumcomputer. Er wordt wereldwijd koortsachtig gewerkt aan het maken van quantumcomputers die steeds grotere getallen in priemgetallen kunnen ontbinden. Daar zou je je wel zorgen over moeten maken: alle versleutelde informatie die nu verstuurd en onderschept wordt, kan over een paar jaar in een oogwenk door een quantumcomputer ontsleuteld worden. Hoe de quantumcomputer werkt is weer een ander interessant verhaal, maar het principe van quantumversleuteling kun je met behulp van verstrengelde toestanden begrijpen.

Het uitwisselen van geheime boodschappen is al een oud probleem. De wetenschapsjournalist Simon Singh heeft er een mooi boek over geschreven. Daarin legt hij ook uit hoe quantumversleuteling werkt. Om een boodschap te versleutelen heb je, het zal je niet verbazen, een sleutel nodig. Een slechte manier van versleutelen werk zo. Nummer alle letters van het alfabet van 1 t/m 26. Dus A = 1, B = 2, etc. Je zet je boodschap zo om in cijfers. Elk cijfer vermenigvuldig je vervolgens met een sleutel: een of ander groot getal. Dan krijg je een reeks cijfers en die verstuur je. De ontvanger moet dan de sleutel hebben om het omgekeerde te doen met de cijferreeks. Nogmaals: gebruik deze methode niet, want hij is makkelijk te kraken. Het gaat om het principe.

Het probleem is nu: hoe krijg je die sleutel bij de ontvanger? Je zou het op een briefje kunnen schrijven en dat versturen. Maar wordt dat briefje onderschept, dan is je communicatie ook niet meer veilig. Het probleem is dus niet het versleutelen van de boodschap, maar het uitwisselen van de sleutel. En dat is waar quantumcryptografie een rol speelt. Banken gebruiken dat al om belangrijke data uit te wisselen.

Zo heeft de kritische geest van Einstein er na bijna 100 jaar voor gezorgd dat de quantumtheorie beter begrepen is en bovendien belangrijke toepassingen heeft opgeleverd.

Referenties en bronnen

1. Deze beschrijving is ontleend aan Rae, Alastair I.M. (2018). Quantum Physics: illusion or reality? Cambridge University Press.
2. Zie voor de uitleg van dat kwadraat van de sinus en cosinus weer deel 1.
3. Het artikel van Wootters en Zurek is nauwelijk twee pagina’s lang! Als je voor school een verslag schrijft dat niet lang genoeg is volgens je docent, zorg dan in ieder geval dat het heel goed is.
4. Singh, Simon. (2000). The Code Book: The Secret History of Codes and Code-Breaking. London: Fourth Estate.
5. Kaiser, David. (2012). How the Hippies Saved Physics: Science, Counterculture, and the Quantum Revival. W.W. Norton & Co.