De quantumtheorie heeft vele verrassingen. De drie meest opmerkelijke zijn tunneling, superpositie en verstrengeling. We danken ons inzicht in verstrengeling wellicht aan Einsteins koppigheid, aan idealistische hippies en doortastende experimentatoren. En hoewel het wat theorie vergt om te begrijpen waar het hier om gaat, heeft quantumverstrengeling belangrijke toepassingen, bijvoorbeeld bij het versleutelen van geheime berichten. In dit eerste deel kijken we naar wat verstrengeling is en wat de verschillen zijn tussen een klassieke theorie en een quantumtheorie. In het tweede deel gaan we kijken wat de experimentele uitkomsten zijn.
Eerst superpositie
Om verstrengeling te begrijpen is enig begrip van superpositie nodig. Superpositie ken je van het tweespletenexperiment. Licht wordt door twee smalle openingen (‘links’ en ‘rechts’) gestuurd en achter die openingen ontstaat een interferentiepatroon. Het ontstaan daarvan is te begrijpen door licht als golf te zien. Maar omdat licht uit energiepakketjes, fotonen, bestaat, moeten we het tweespletenexperiment ook kunnen beschrijven uitgaande van deeltjes, quantumdeeltjes natuurlijk.
Elk foton kan door één van beide openingen gaan. Door welke het daadwerkelijk gaat, weet je pas als je gaat meten. Doe je dat niet, dan wordt de toestand van het foton beschreven door de som, of superpositie, van twee mogelijkheden. Je kunt dat symbolisch opschrijven als:
|foton toestand⟩ = |linker opening⟩ + |rechter opening⟩ (1)
Die twee toestanden samen zorgen voor het interferentiepatroon. Als je gaat meten welke opening het foton heeft gepasseerd, dan meet je ofwel de toestand |linker opening⟩ ofwel |rechter opening⟩ en het interferentiepatroon verdwijnt. Het foton ging dus daadwerkelijk door één opening. En dan treedt er geen interferentie op.
Je zou nog meer fotonen op die twee openingen kunnen sturen en voor elk foton afzonderlijk geldt de toestand beschreven in vergelijking (1). Bij verstrengeling bevinden twee (of meer) quantumdeeltjes zich in een speciale toestand.
Analogie voor verstrengeling
Om je verstrengeling wat beter voor te kunnen stellen, gebruiken we eerst een analogie. Stel dat een persoon zich in twee gemoedstoestanden kan bevinden: blij of verdrietig. Twee willekeurige personen kunnen een van beide zijn. Albert uit Egwijk kan blij zijn en onafhankelijk daarvan is Beatrice uit Juinen verdrietig, of blij. Het kan allebei. Voordat iemand gaat meten of Albert en Beatrice al dan niet blij of verdrietig zijn, beschrijf je hun toestanden afzonderlijk als:
|gemoedstoestand⟩A = |blij⟩A + |verdrietig⟩A
|gemoedstoestand⟩B = |blij⟩B + |verdrietig⟩B
Op een dag ontmoeten Albert en Beatrice elkaar en vanaf dat moment zijn het beste vrienden. Ze delen geluk en ongeluk: als Albert blij is, dan is Beatrice dat ook en andersom. Je hoeft dus maar aan Beatrice te vragen of ze blij of verdrietig is en je weet onmiddellijk hoe het Albert vergaat. Dat kun je symbolisch als volgt opschrijven:
|gemoedstoestand⟩vrienden = |blij⟩A|blij⟩B + |verdrietig⟩A|verdrietig⟩B
Als je meet, dan meet je nog steeds een van de toestanden links of rechts van het plusteken. Je weet van tevoren niet wat de uitkomst is: er is een kans van 50% op elk van de mogelijkheden. Maar de gemoedstoestanden van Albert en Beatrice zijn dan wel gekoppeld: als de een blij is, dan is de ander dat ook. Die toestanden zijn verstrengeld.
Na elke ontmoeting waarin de gemoedstoestand van Albert en Beatrice verstrengeld raken, kun je eenzelfde meting uitvoeren, ook wanneer Albert en Beatrice hun eigen weg gaan. Kom je dan Albert alleen op straat tegen en hij is verdrietig, dan is Beatrice dat (ergens anders) ook. Maar als Albert vervolgens naar een feestje gaat en Beatrice blijft alleen thuis, dan verandert hun gemoedstoestand onafhankelijk van elkaar. Albert vrolijkt op en Beatrice blijft verdrietig. Hun verstrengeling is verbroken.
Dit is het idee van verstrengeling. Maar merk op dat voordat jij gaat meten wat de gemoedstoestand van Albert of Beatrice is, zij al blij of verdrietig zijn. Daar verandert jouw meting niets aan. Je wist het alleen nog niet! In de natuurkunde zeg je: de variabele (hier ‘gemoedstoestand’) was voor de meting verborgen. De quantumwereld blijkt nog wat verrassender in elkaar te zitten dan dat. Om dat te begrijpen moeten we naar echte quantumdeeltjes kijken: fotonen.
Fotonen en polarisatie
Net als de gemoedstoestand van Albert en Beatrice, kan een foton ook in twee toestanden voorkomen. Dat wordt polarisatie genoemd. Je kent het woord misschien van polaroidbrillen (figuur 1).
Die polarisatie heeft te maken met de elektrische en magnetische trillingen waaruit lichtgolven bestaan (figuur 2). Als we even alleen naar het elektrisch veld kijken: dat veld kan in allerlei richtingen, loodrecht op de bewegingsrichting van de golf, trillen. Dat kun je meten in twee richtingen: horizontaal (H) en verticaal (V). Als de golf met een amplitude van E onder een hoek van bijvoorbeeld 30° met de H-richting trilt, dan is de amplitude van de golf in de H-richting ½√3·E en in de V-richting ½·E (figuur 3). Dat volgt uit het ontbinden van de E-vector in de H- en V-richting. Een polaroidfilter, zoals in een polaroidbril wordt gebruikt, zou je kunnen gebruiken om alleen het licht dat in de H-richting is gepolariseerd door te laten en dat in de V-richting tegen te houden. Met zo’n filter kun je dus meten hoe het licht gepolariseerd is.
Nu bestaat een lichtgolf eigenlijk uit fotonen en die kunnen niet een beetje in de H- en een beetje in de V-richting trillen. Je meet ofwel een H-foton, trillend in de H-richting, ofwel een V-foton, trillend in de V-richting. Wat betekenen dan die amplitudes van de golf die onder een hoek van 30° trilt? Ze hebben te maken met de kansen om een H-foton en een V-foton te meten. Die kansen hangen weer af van de amplitudes van de lichtgolf in deze twee richtingen. Als je die amplitudes optelt, dan krijg je niet 1, zoals bij een kans zou moeten: ½√3 + ½ is afgerond 1,4. De kwadraten zijn opgeteld wel netjes samen 1, want (½√3)2 + (½)2 = ¾ + ¼ = 1.
De toestand van de fotonen uit de golf, die onder een hoek van 30° trillen, kun je hiermee beschrijven:
|30°-foton⟩ = ½√3|H⟩ + ½|V⟩
Of meer algemeen voor een lichtgolf onder een hoek van α met de horizontale richting:
|α-foton⟩ = a · |H⟩ + b · |V⟩ (2)
De kans op een H-foton is dan a2 en op een V-foton b2.
Wat heeft dit nu met verstrengeling te maken? Dit is waar Einstein in het verhaal komt.
EPR: Einstein, Podolski en Rosen
Albert Einstein (1879 – 1955) had grote moeite met de nieuwe quantumtheorie. Dat de uitkomst van metingen bepaald wordt door kans kon hij niet geloven. "God dobbelt niet", heeft hij daarop gezegd. De quantumtheorie doet nauwkeurige voorspellingen over kansen. Daar was Einstein het wel mee eens. Maar het moest mogelijk zijn om die uitkomsten zelf ook echt te voorspellen, vond hij, niet alleen de kans op die uitkomsten. Dus de quantumtheorie was nog niet af meende hij.
Einstein wordt wel eens neergezet als koppig en eigenwijs. Alsof hij niet mee wilde gaan met de nieuwe ontwikkelingen binnen de natuurkunde en vast bleef houden aan klassieke opvattingen. Hij ging vaak in debat met de bedenkers van de quantumtheorie, zoals Niels Bohr (1885 – 1962) en Werner Heisenberg (1901 – 1976). Einstein bombardeerde hen met het ene na de andere gedachtenexperiment die de zwakke plekken aantoonden in de theorie. Zo werd die theorie juist steeds beter uitgewerkt, juist dankzij de twijfels van Einstein.
Een van die gedachtenexperimenten is beschreven in een beroemd geworden artikel uit 1935 dat Einstein samen met Boris Podolski (1886 – 1966) en Nathan Rosen (1909 – 1995) schreef. Het is bekend geworden als het EPR-artikel en het gedachtenexperiment als de EPR-paradox (ook al is het geen paradox!).
Het experiment dat EPR beschreven is wat ingewikkeld. Dankzij David Bohm (1917 – 1992) en John Bell (1928 – 1990) is een meer eenvoudige opzet bekend geworden op basis van de spin van elektronen (zie kader). Maar het kan nog eenvoudiger als we gebruikmaken van de polarisatie van fotonen, zoals hierboven beschreven. De volgende beschrijving is grotendeels ontleend aan Rae (2018). Dat boek is hier en daar wat technisch, maar goed te lezen voor een vwo-leerling.
Voor ons experiment hebben we een atoom nodig dat zich in een aangeslagen toestand bevindt. Als het atoom terugvalt naar de grondtoestand, dan verloopt dat in twee stapjes: er worden zeer kort na elkaar twee fotonen uitgezonden. Hun golflengte is niet gelijk (dat hoeft ook niet), maar wat speciaal is: als het ene foton verticaal is gepolariseerd, dan is het andere horizontaal gepolariseerd en andersom. Van te voren kun je alleen niet voorspellen wat de polarisatie van de fotonen zal zijn.
Nu laat je die fotonen flink uit elkaar vliegen, het ene naar links, het andere naar rechts. Je moet daarbij zorgen dat ze niet beïnvloed worden. Om onze analogie met Albert en Beatrice te gebruiken: de fotonen moeten niet onderweg op een feestje terecht komen! Als je vervolgens de polarisatie van het linker foton meet, dan weet je onmiddellijk wat de polarisatie van het rechter foton moet zijn. Als je nu heel vaak metingen uitvoert aan deze foton-paren, dan krijg je bijvoorbeeld zoiets als in tabel 1. Wat opvalt: er is een 50% kans op het meten van een van de twee toestanden en de uitkomsten zijn gekoppeld: als je links een V-foton meet, dan meet je rechts een H-foton. Wiskundig zeg je het zo: de uitkomsten zijn gecorreleerd.
EPR zag het volgende probleem: de toestand van het rechter foton kan niet beïnvloed zijn door het linker foton, omdat geen signaal sneller dan het licht kan reizen, laat staan dat het oneindig snel kan reizen. Kortom: oorzaken zijn lokaal. Maar toch ben je iets te weten gekomen van dat rechter foton, dat je eerder nog niet wist. EPR zei het zo: iets wat je meet is ‘realistisch’, het bestond al. En iets dat realistisch is, moet door de natuurkunde te voorspellen zijn. Maar dat is hem nu juist: de quantumtheorie kan die uitkomsten niet voorspellen. Conclusie van EPR: de quantumtheorie is niet af.
| linker foton | rechter foton |
| + | - |
| + | - |
| + | - |
| - | + |
| - | + |
| + | - |
| ... | ... |
Tabel 1: Mogelijke uitkomsten EPR-experiment. Voor de latere uitleg is het handig om een H-foton weer te geven met + en V-foton met -.
Volgens EPR hebben de fotonen een onbekende eigenschap die het mogelijk zou moeten maken de uitkomst wel te voorspellen. Die onbekende eigenschap wordt meer algemeen een ‘verborgen variabele’ genoemd. Simpel gezegd: de fotonen hadden al de eigenschap H of V, maar jij als experimentator wist dat gewoon nog niet. Vergelijk dat maar met Albert en Beatrice, die al blij of verdrietig waren voordat je een van hen vroeg naar hun gemoedstoestand.
Elektronspin
EPR gebruikten in hun artikel geen fotonen en polarisatie, maar elektronen en spin. Elektronen zijn elementaire deeltjes, zogenoemde leptonen met een lading -e. In atomen bezetten ze energietoestanden en het springen tussen die energietoestanden veroorzaakt de bekende spectraallijnen van bijvoorbeeld waterstof, helium en natrium (zie Binas tabel 20). Met die spectraallijnen was iets geks aan de hand, zo ontdekten bijvoorbeeld Michael Faraday en Pieter Zeeman. Als je de atomen in een sterk magneetveld zette, dan splitste sommige spectraallijnen in twee, of meer lijnen (figuur 4).
Figuur 4: De twee natrium D-lijnen (boven) splitst in een sterk magneetveld in meerdere lijnen (onder).
Wolfgang Pauli stelde voor dat elektronen blijkbaar een eigen quantumgetal hebben, bovenop de quantumgetallen om de toestand van elektronen in een atoom te beschrijven. Dat nieuwe quantumgetal zorgt er in een magneetveld voor dat ze meer of minder energie hebben dan zonder dat magneetveld. De Nederlanders George Uhlenbeck en Samuel Goudsmit stelde voor dat de elektronen als het ware om hun as draaien, alsof het kleine tolletjes zijn. Door hun lading ontstaat zo een magneetveld dat naar boven (up) of naar beneden (down) is gericht in de richting van de draaias. Je moet dat draaien niet te letterlijk nemen, want elektronen zijn elementair: ze hebben, voor zover bekend, geen interne structuur. Dit draaien werd vervolgens spin genoemd.
Otto Stern en Walther Gerlach hadden eerder ook al het effect van spin gezien in wat nu het Stern-Gerlach-experiment wordt genoemd. Zilveratomen werden door een magneetveld gestuurd. Er ontstond geen egale vlek, zoals je zou verwachten als de spin van de zilveratomen in iedere willekeurige kon staan. In plaats daarvan ontstonden er twee vlekken: sommige zilveratomen werden naar boven, sommige naar beneden afgebogen.
Spin is wat moeilijker voor te stellen dan de polarisatierichting van fotonen en de mogelijke richtingen zijn ook niet helemaal hetzelfde. Zo kan een foton horizontaal (y-richting), of verticaal (x-richting) gepolariseerd zijn. Die toestanden zijn volledig onafhankelijk van de polarisatie richting in de +45° en -45° richting. Voor een elektron geldt dan dat deze up of down spint in de x-richting en dat deze toestanden volledig onafhankelijk zijn in de y-richting, dus 90° gedraaid ten opzichte van de x-richting. Dus een elektron zich in de |up⟩ toestand bevindt, dan heb je een kans van 50% om het in de |+45°⟩ en 50% in de |-45°⟩ toestand te vinden.
Een impasse van 30 jaar
De stelling van EPR bleek een hardnekkig probleem. Hadden de fotonen al hun polarisatierichting voordat je die bepaalde (EPR)? Of kregen ze die nadat je ging meten (quantum)? Beide theorieën voorspellen een 50% kans op het vinden van een V- of H-foton en beide theorieën voorspellen dat de uitkomsten gecorreleerd zijn. Je hebt niets aan twee theorieën die hetzelfde voorspellen. Je kunt op basis van het experiment niet zeggen welke juist is. De Tweede Wereldoorlog kwam en de quantumtheorie werd (succesvol?) gebruikt om een atoombom te bouwen. Vragen over de betekenis van de quantumtheorie raakte op de achtergrond. Shut up and calculate!
Het duurde bijna 30 jaar tot John Bell in 1964 met een duidelijk idee kwam hoe de stelling van EPR wel experimenteel getest zou kunnen worden. Bell stelde metingen voor die volgens de quantumtheorie andere uitkomsten zouden moeten geven dan in de theorie van EPR: een quantumtheorie met verborgen variabelen. In het volgende deel gaan we in detail bekijken hoe hij dat voor elkaar kreeg, welke experimenten er zijn gedaan en wat uiteindelijk daarvan de uitkomst was. En we zullen ook zien dat al dit gefilosofeer ook nog eens echte toepassingen heeft in het versleutelen van gegevens tussen banken.
Bronverwijzingen
- A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen (1935). Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? Physical Review 47: 777-780.
- Rae, Alastair I.M. (2018). Quantum Physics: illusion or reality? Cambridge University Press.
