Maar is dit wel te vergelijken met de regenboog die je op de foto van figuur 1 ziet? In dit artikel wordt deze vraag beantwoord.
Het bijzondere van de foto is dat een dubbele regenboog is te zien. De tweede regenboog is vaak zo zwak dat hij niet opvalt. Tussen de twee bogen is het relatief donker. De foto laat ook zien dat het binnen de kleine regenboog lichter is dan erbuiten en dat het verder naar binnen toe weer steeds donkerder wordt. Zoiets zie je ook buiten de grote regenboog waar het naar buiten toe steeds donkerder wordt. Een belangrijk detail is tenslotte dat je aan de schaduwen op de foto kunt zien dat de fotograaf met zijn rug naar de zon staat. Al deze aspecten komen in dit artikel aan de orde. We beginnen met de binnenste regenboog.
Ontstaan binnenste regenboog
Om dat te begrijpen moeten we gaan kijken wat er met licht gebeurt dat op een waterdruppel valt. In figuur 2a is dat getekend voor een lichtstraal die bij punt A op de druppel valt. Daar wordt het voor een deel weerkaatst en voor een deel gebroken. Dat proces zal zich herhalen telkens wanneer de lichtstraal de rand van de druppel bereikt (bij B, C ….). De lichtstraal die binnen de druppel blijft zal daardoor bij elke weerkaatsing iets minder sterk zijn totdat hij niet meer waarneembaar is.
Bij het ontstaan van de binnenste regenboog gaat het om de lichtstraal die na één weerkaatsing de druppel weer verlaat. De hoek ω die deze lichtstraal maakt met de binnenkomende straal hangt af van de plaats waar de lichtstraal de druppel in gaat. Je kunt dat zelf onderzoeken met een heel simpel proefje. In plaats van een druppel neem je een laagje vloeistof in een rond doorzichtig bakje en schijn je van opzij met een lichtbron tegen het bakje. Met een beetje oefenen kun je dan zien hoe de lichtstraal door de vloeistof gaat en er weer uitkomt. In het filmpje van figuur 2b zie je een bovenaanzicht van dit proefje waarin als vloeistof slaolie is genomen en als lichtbron een laserpen. Start het filmpje en let op de lichtstraal die bij C (figuur 2a) weer uit de vloeistof komt.
Figuur 2b: Het volgen van de lichtstraal. Bron: auteur.
Heb je dat gezien? Als de lichtbron op het midden van de ‘druppel’ schijnt en vervolgens opzij wordt geschoven neemt de hoek tussen de teruggekaatste en binnenkomende lichtstraal (ω) eerst toe tot een maximale waarde en daarna weer af. Die maximale hoek is afhankelijk van de kleur licht omdat niet elke kleur even sterk wordt gebroken bij de grensovergang van lucht naar de vloeistof en omgekeerd. Met de wet van Snellius kun je laten zien dat bij water deze maximale hoek ligt tussen 40,9o (voor violet licht) en 42,5o (voor rood licht).
Wil je de berekening zien van deze maximale hoeken?
Hoe groot is de maximale hoek waarmee licht uit de druppel komt na één weerkaatsing?
In figuur a zie je een lichtstraal die bij punt A een waterdruppel ingaat en na één weerkaatsing in B de druppel bij C weer verlaat. Bij A is de hoek van inval i en de hoek van breking r. Hoek i hangt af van waar de lichtstraal de druppel ingaat. Hoek r wordt bepaald door de hoek van inval i en de brekingsindex van water n. De hoek tussen de ingaande en uitgaande lichtstraal is ω. Naast de figuur is de formule afgeleid die het verband aangeeft tussen i en ω. Hierbij is gebruik gemaakt van de rekenregel die geldt voor de som van de hoeken in een veelhoek:
Op Sciencespace staat een artikel waarin deze rekenregel is afgeleid.
Geen gemakkelijke formule om te zien hoe ω verandert als i varieert van 0o tot 90o. Laten we de hulp van Excel inroepen om de grafiek te maken die bij deze formule hoort. Je moet de formule dan wel op twee punten aanpassen zodat Excel de formule begrijpt:
1. Inverse functie van sinus (sin-1) moet je invoeren als boogsin
2. Hoeken moeten ingevoerd worden in radialen. Dus graden moet je, waar nodig, laten omrekenen in radialen en omgekeerd.
De formule die je invoert voor rood licht ziet er dan als volgt uit:
Hierin is A4 de invalshoek i die varieert van 0o tot 90o. Voor de kleuren geel en violet hoef je alleen de brekingsindex van 1,33 te vervangen door 1,333 respectievelijk 1,341
In figuur b staan de Excel-grafieken met de maximale waarden voor ω:
-voor rood licht ------- ωmax =42,5o
-voor geel licht -------- ωmax =42,1o
-voor violet licht ------ ωmax =40,9o
Kleurenkegels
Waterdruppels die een regenboog maken zoals die van figuur 1 hebben een middellijn van ongeveer 0,5-2 mm. Bij deze afmetingen is de oppervlaktespanning nog zó groot dat de druppel vrijwel bolvormig is. Door deze bolvorm zal het terugkomende licht de vorm hebben van een kegel met een tophoek die afhangt van de kleur licht. In figuur 3 zie je een afbeelding van drie van deze kleuren.
In de figuren is ook aangegeven dat de intensiteit laag is in het midden van de kegel, toeneemt richting de rand en sterk toeneemt in de buurt van de rand. In figuur 4 is het verloop voor de drie kleuren schetsmatig in grafiek gebracht.
Als je hierop klikt zie je hoe de schets tot stand is gekomen.
Met welke intensiteit komt het licht uit de kegel?
Het gaat hier om licht dat na één weerkaatsing weer uit de waterdruppel komt (figuur a).
De intensiteit waarmee het licht de druppel verlaat zal afhangen van:
1. Hoe de lichtstralen zich splitsen aan de rand van de druppel (figuur links): welk deel wordt bij elke splitsing weerkaatst en welk deel gebroken
2. Hoe dicht de lichtstralen op elkaar zitten bij het verlaten van de druppel (figuur rechts).
Wat kan je zeggen over deze twee effecten?
Effect 1 Over de splitsingen
We proberen te achterhalen hoe het licht zich zal splitsen in de punten A, B en C bij verschillende invalshoeken iA.
Over de splitsing bij punt A
Hoeveel licht er weerkaatst wordt aan het grensvlak tussen twee stoffen is voor het eerst nauwkeurig beschreven door de Franse natuurkundige Augustin Jean Fresnel (1788-1827). Hij legde zijn theorie vast in de naar hem genoemde vergelijkingen van Fresnel. De vergelijking waarmee je de fractie kunt berekenen van de intensiteit van het licht dat weerkaatst wordt, ziet er als volgt uit:
Hierin is i de hoek van inval en r de hoek van breking. Als licht gaat van stof 1 naar stof 2 met brekingsindices n1 respectievelijk n2 is het verband tussen i en r:
Wat niet weerkaatst wordt, wordt gebroken, dus:
Om te bepalen welke fractie van het opvallende licht (bij A) er bij C weer uitkomt moeten we eerst uitrekenen de fractie die gebroken wordt bij A, dan de fractie die weerkaatst wordt bij B, en vervolgens de fractie die gebroken wordt bij C. Dit lijkt ingewikkeld, maar we hebben geluk. Kijk maar eens naar figuur b.
In de figuur zie je dat de hoeken van inval en breking bij B en C omgekeerd zijn aan die bij A. Maar een verwisseling van de hoeken i en r in de formule van Fresnel levert dezelfde uitkomst. Dus de fractie die weerkaatst wordt bij A is gelijk aan die bij B en C. En dat geldt dan ook voor de fracties die gebroken worden. Dat zorgt ervoor dat we alleen de fracties voor punt A hoeven uit te rekenen.
We hebben nog een gelukje: de gebroken lichtstraal bij A is de invallende lichtstraal bij B en de weerkaatste lichtstraal bij B is de invallende lichtstraal bij C. Dat maakt dat we de totale fractie van het licht dat bij C uit de druppel komt kunnen berekenen door de afzonderlijke fracties met elkaar te vermenigvuldigen:
In figuur c zie je het reken- en tekenresultaat van Excel voor rood licht met een brekingsindex van 1,33.
Je ziet dat de intensiteit nauwelijks verandert bij invalshoeken tot ±35o, dat hij bij grotere invalshoeken toeneemt en vervolgens weer afneemt met een maximum bij 80o. We zijn echter niet geïnteresseerd in het intensiteitsverloop bij verschillende invalshoeken i, maar bij verschillende hoeken ω, de hoek tussen de invallende en teruggekaatste lichtstraal. Maar het verband tussen i en ω kennen we (links in figuur d) dus we kunnen de grafiek nogmaals bekijken waarin horizontaal niet alleen invalshoek i is uitgezet, maar ook de bijbehorende hoek ω (rechts in figuur d).
Hiermee kunnen we een schets maken van het intensiteitsverloop van het licht dat terugkomt uit de druppel als functie ω (figuur e).
Effect 2: Over de dichtheid van de lichtstralen
Hoe dicht de lichtstralen op elkaar zitten kun je het best onderzoeken door te kijken naar de (i,ω)-grafiek. In figuur f zie je de grafiek voor rood licht.
Om te ontdekken hoe de dichtheid van de lichtstralen verandert met de uittredende hoek ω verdelen we de verticale as in gelijke intervallen Δω en kijken vervolgens naar de bijbehorende intervallen Δi op de horizontale as. Je ziet in figuur f dat door de vorm van de grafiek Δi niet verandert zolang ω<15o, daarna langzaam groter en ineens zeer snel toeneemt in de top van de grafiek, bij ω = 42o. Een groter interval Δi betekent dat meer lichtstralen de druppel verlaten in het betreffende interval Δω. Dus de stralendichtheid uit de kegel is constant bij hoeken ω<15o, neemt daarna heel langzaam toe bij grotere ω en stijgt tenslotte snel tot een maximum bij ω=42o.
In figuur g is dat voor rood licht schetsmatig in een grafiek weergegeven.
Voegen we het effect van de splitsingen (figuur e) en het effect van de dichtheden van de lichtstralen (figuur g) samen voor de drie kleuren dan ontstaat figuur h.
Door de samenvoeging van alle kleuren ontstaat een kegel die wit licht uitstraalt met een rand waarin de kleuren gescheiden zijn: violet aan de binnenkant en rood aan de buitenkant. De intensiteit van het witte licht is klein in het midden van de kegel en neemt toe richting de rand.
Wat betekent dat voor zonlicht dat na één weerkaatsing de druppel aan de voorkant weer verlaat? Ofwel wat is het resultaat van de overlap van al deze kleurenkegels? Het zal resulteren in een kegel gevuld met wit licht waarvan de intensiteit toeneemt richting de rand en een rand waar de kleuren gescheiden zijn. Het witte licht ontstaat door de overlap van alle kleuren en de gescheiden kleuren aan de rand ontstaan doordat elke kleur zijn eigen maximale hoek heeft.
In figuur 5 zie je een afbeelding waarin alleen de top van zo’n complete kegel is getekend.
Waarnemer
Wat betekent dat voor een waarnemer die zijn blik richt op heel veel waterdruppels die beschenen worden door de zon? Als hij de kleuren van de kleurenkegels wil zien moet hij in ieder geval met zijn rug naar de zon staan, want alleen in dat geval kan het licht uit een kegel in zijn oog vallen. In figuur 6 zie je een vereenvoudigde weergave van deze situatie waarin een paar waterdruppels zijn getekend, elk met hun kegelas naar de zon gericht. Slechts het topje van elke kleurenkegel is hier weer getekend. In de figuur is ook het punt aangegeven waar de schaduw van het hoofd van de waarnemer gevormd wordt, het zogenoemde antisolaire punt. Straks zal blijken wat het belang is van dit punt bij het ontstaan van de regenboog.
Wat de waarnemer van het geheel krijgt te zien kun je het best onderzoeken door eerst te kijken in een verticaal vlak dat evenwijdig loopt aan de zonnestralen en door het antisolaire punt gaat. De druppels die in dit vlak liggen worden met hun kleurenkegels doorsneden door dit vlak waardoor oneindig lange driehoeken ontstaan ieder met hun tophoek op een druppel. Ze zijn wit van binnen en gekleurd aan de zijkanten. In figuur 7 zijn de beginstukken van een paar van deze driehoeken getekend.
Kleur van een regendruppel
In welke kleur de waarnemer een druppel ‘ziet’ hangt af vanuit welk gedeelte van de driehoek het licht komt dat naar de waarnemer gaat. Komt dit licht uit het middendeel van de driehoek dan is de druppel witachtig van kleur, komt het uit de rand dan is de druppel gekleurd. Kijkt een waarnemer in de richting van het antisolaire punt dan ziet hij druppels heel zwak in het wit. Als hij hoger kijkt wordt de kleur steeds witter totdat hij druppels tegenkomt die respectievelijk paars, blauw, groen, geel, oranje en rood zijn. Verder omhoog gaande zitten druppels die hij niet meer kan zien omdat geen enkele lichtstraal uit de bijbehorende kleurenkegels de waarnemer bereikt. In figuur 7 is rechts met een kleurenbalkje aangegeven in welke kleur de waarnemer de druppels in de betreffende richting ziet.
Regenboog
We hoeven nog maar één stap te zetten om de regenboog te zien ontstaan. Daartoe laten we het verticale vlak van figuur 7 draaien om de as die loopt van de waarnemer naar het antisolaire punt. In elk gedraaid vlak kunnen we dezelfde redenering gebruiken met hetzelfde resultaat. Het beeld dat dan ontstaat is dat van een gekleurde boog rond het antisolaire punt: de regenboog, een samenspel van alle kleurenkegels uit een ontelbaar aantal waterdruppels.
Opmerkingen:
1. Uit figuur 7 blijkt dat de waarnemer de boog ziet onder een hoek die gelijk is aan de halve tophoek van de kleurenkegel, dus 42o ten opzichte van het antisolaire punt.
2. Een regenboog kan hoger of lager aan de hemel staan. In figuur 7 zie je dat de stand van de zon bepaalt hoe hoog de regenboog aan de hemel staat. Hoe lager de zonnestand hoe hoger de regenboog verschijnt.
3. Een regenboog zou eigenlijk een volledige cirkel moeten zijn ware het niet dat de grond dat voorkomt. Vervang je de grond door een regenwolk dan zou de regenboog cirkelvormig zijn. Die situatie kan zich voordoen als je bijvoorbeeld vanuit een vliegtuig een regenboog waarneemt.
Ontstaan buitenste regenboog
De buitenste regenboog wordt gevormd door licht dat in een waterdruppel niet één keer weerkaatst tegen de achterkant maar twéé keer (zie figuur 8).
Nu blijkt er sprake te zijn van geen maximale maar een minimale hoek tussen de binnenkomende en de teruggekaatste lichtstraal. Deze hoek ligt tussen 50o en 53o, weer afhankelijk van de kleur van het licht. Uit de berekening blijkt dat kleinste minimale hoek hoort bij rood licht en de grootste bij violet.
Wil je de berekening zien van deze minimale hoeken?
Hoe groot is de minimale hoek waarmee licht uit de druppel komt na twee weerkaatsingen?
In figuur a zie je een voorbeeld van een lichtstraal die na twee weerkaatsingen de druppel verlaat. De hoek die deze straal maakt met de binnenkomende straal is ω. De binnenkomende lichtstraal valt met een invalshoek i op de druppel en wordt gebroken onder een hoek r. Deze hoek r vind je weer op meerdere plaatsen terug in de figuur. Naast de figuur is de formule afgeleid die het verband aangeeft tussen ω en i.
Om de grafiek van deze formule in Excel te kunnen bekijken moeten we weer de bekende aanpassingen plegen.
Resultaat voor rood licht:
Hierin is A4 de invalshoek i die varieert van 0o tot 90o. Voor de kleuren geel en violet hoef je alleen de brekingsindex van 1,33 weer te vervangen door 1,333 respectievelijk 1,341.
In figuur b staan de grafieken die Excel ervan maakt en kun je de minimale waarden van ω aflezen:
-voor rood licht ---------ωmin=50o
-voor geel licht ----------ωmin=51o
-voor violet licht --------ωmin=53o
Dus er ontstaan nu kleurenkegels waar het licht niet uit de binnenruimte van de kegel komt, maar uit de buitenruimte met een intensiteit die naar buiten toe afneemt. Figuur 9 laat het verschil zien tussen de lichtintensiteit van een kleurenkegel uit de binnenste boog en een kleurenkegel uit de buitenste boog.
Het beredeneren van de vorm en hoogte van de grafieken gaat op dezelfde manier als we gedaan hebben voor een kleurenkegel uit de binnenste regenboog met dát verschil dat we nu rekening moeten houden met een extra weerkaatsing binnen de druppel dus lagere intensiteit.
In figuur 10 zie je het verschil tussen een kleurenkegel van een druppel uit de binnenste regenboog en een kleurenkegel van een druppel uit de buitenste regenboog. Je ziet ook dat de kleuren aan de rand zijn omgekeerd.
De manier waarop we het ontstaan van de binnenste regenboog tenslotte hebben beredeneerd kunnen we dat nu ook toepassen voor de buitenste regenboog.
Resultaat: een boog onder een hoek van 53o met kleuren die omgekeerd zijn aan die van de binnenste boog.
Ontstaan donkere band tussen de twee bogen
De band tussen de twee bogen is het gebied waarin zich waterdruppels bevinden waarvan geen enkele lichtstraal uit een kleurenkegel de waarnemer bereikt. Uit dit gebied komt alleen het strooilicht dat normaal al aan de hemel te zien is. Binnen de binnenste regenboog komt behalve dit strooilicht ook nog eens het witte licht van de druppels. Datzelfde geldt voor het gebied buiten de buitenste boog. Dat maakt de ruimte binnen de binnenste boog en buiten de buitenste boog lichter is dan er tussen in.
Proefje
Ook in Sciencespace staat een artikel over de regenboog met als titel ‘Alle kleuren van de regenboog’. Dit artikel wordt afgesloten met een proefje dat je op een zonnige dag met weinig hulpmiddelen heel veel kijkplezier kan geven.
Connie Morsing
