Tunneling, wonder van de quantumwereld

Tunneling, of het tunneleffect, hoewel wonderbaarlijk, blijkt een regulier maar onverwacht natuurkundig verschijnsel te zijn. Omdat we in ons dagelijks leven niet vertrouwd zijn met het verschijnsel komt het mysterieus over. De quantumtheorie voorspelt op basis van het golfkarakter van materie dat deeltjes kunnen tunnelen. Maar veel belangrijker is dat het tunneleffect experimenteel vastgesteld is. Het is namelijk de verklaring voor een aantal zeer bekende natuurkundige verschijnselen zoals radioactief verval en zonlicht, maar ook buiten de natuurkunde komen we het tegen.

De achtergrond

Als we aan de bouwstenen van materie denken, gebruiken we vaak een beeld van bolletjes. Elektronen, protonen en neutronen stellen we ons voor als bolletjes die samen atomen vormen, ook ‘bolletjes’ die gestapeld zijn tot een stuk materiaal. In de quantummechanica echter worden deze bouwstenen voorgesteld als golven. Wiskundig gebruiken we dan een zogenoemde golffunctie die beschrijft waar het deeltje (bijvoorbeeld het elektron rond de atoomkern) zich kan bevinden. Als we het gedrag van al die deeltjes willen begrijpen moeten we daarom deze golffunctie vinden. En dat doen we met de schrödingervergelijking. De schrödingervergelijking is voor de golffunctie wat de tweede wet van Newton is voor de plaatsfunctie van een klassiek deeltje.

 Potentiaalbarrière

Stel je nu voor dat een deeltje tegen een ‘muur’ aankomt. Je kunt daarbij denken aan de tennisbal die je naar een muur slaat. Die ‘muur’ noemen we in de natuurkunde een potentiaalbarrière. Om over de muur te komen, moet de bal ten minste de energie E hebben die gelijk is aan de potentiële energie E_pot die hoort bij de hoogte van de muur. Is er een energietekort (E < E_pot), dan komt de bal niet over de muur, maar stuitert terug.

De beschrijving in de quantummechanica is anders. In figuur 1 zie je het deeltje voorgesteld door een golf(functie), de rechthoek is de potentiaalbarrière. Het deeltje komt van links en heeft energie E. De hoogte van de ‘muur’ geven we aan met de potentiële energie E_pot. Aan beide kanten van de barrière zie je een sinusvorm, dat is de golffunctie van een bewegend deeltje. De nullijn van de sinus geeft de energie E aan.

Bij de muur geldt E < E_pot, oftewel het deeltje heeft een lagere energie dan de barrière hoog is, hij kan er dus niet overheen. We zouden daarom verwachten dat het deeltje daarom reflecteert (terugkaatst).

Maar er gebeurt iets anders, omdat de schrödingervergelijking bepaalt hoe de golffunctie eruitziet. In dit geval dat links en rechts van de muur het bewegend deeltje een sinusvorm heeft. De golflengte kun je gebruiken om via de formule van De Broglie de snelheid van het deeltje te berekenen. Het bijzondere is dat ook binnen de muur de golffunctie bestaat en vanwege de voorwaarde E < E_pot is dat geen sinus maar een exponentieel dalende functie. Voor het deeltje dat van links naar rechts beweegt, bestaat er dus ook een kans dat deze zich in de barrière bevindt. Dit betekent dat er een kans is dat het deeltje behalve reflecteert ook door de muur heen kan dringen.

 Kans op tunneling

De kans  dat het deeltje door de muur komt, staat in de volgende formule. Deze formule is alleen van toepassing op een rechthoekige barrière (een muur):

$P = exp\left ( \frac{-4a\pi}{h}\sqrt{2m(E_{pot} - E)} \right )$                      (1)

Hierin is:

a – de breedte (of dikte) van de barrière

m – de massa van het deeltje

De uitdrukking exp staat voor 'e tot de macht'. Het minteken betekent dat die macht negatief is. Uit deze formule kunnen een paar belangrijke conclusies getrokken worden.

Als eerste: stel je voor dat de muur hoger wordt, oftewel het energietekort van het deeltje is groter. In de formule zie je dan dat de exponent groter wordt en dat de kans op tunneling (vanwege het minteken) kleiner wordt. Hierdoor gaat de e-macht sneller naar nul. Dat kun je je wel voorstellen, want als de muur oneindig hoog is, dan heb je een muur waar geen deeltje ooit overheen komt en dan moet de kans dus nul zijn.

Ten tweede: als de muur breder wordt,  wordt groter, wordt de kans op tunneling ook kleiner. Ook dat is te begrijpen: hoe dikker de muur, hoe lastiger het is om er ‘doorheen’ te komen.

En als laatste, als de massa van het deeltje groter wordt, is de kans ook kleiner. Daarom zie je macroscopische objecten, zoals tennisballen, nooit tunnelen. Je kunt dat als volgt begrijpen. Als de kans dat één deeltje door de barrière tunnelt gelijk is aan P, een getal kleiner dan 1, dan is de kans dat twee deeltjes tegelijk tunnelen gelijk aan P · P = P². En de kans dat N deeltjes tegelijk tunnelen is dan dus P^N. Dat wordt dus snel een heel klein getal en dus een kleine kans.

 Energie na tunneling

Een belangrijke eigenschap van tunneling is dat het niet de energie verandert van het deeltje dat door de barrière gaat. Anders dan de bovengenoemde eigenschappen van het tunneleffect, is dit niet direct intuïtief te begrijpen. Je zou kunnen redeneren dat het deeltje moeite moet doen om door de barrière heen te komen en daarom energie verliest. Maar zoals je in figuur 1 kunt zien is aan beide kanten van de barrière de energie gelijk. Je kunt dat ook zien aan de lengte van de golf, de debrogliegolflengte, een maat voor de energie. Deze is aan beide kanten gelijk. Je moet je dus ook niet voorstellen dat het deeltje ‘door de barrière heen gaat’.

De amplitude van de golffunctie is in de quantummechanica niet gekoppeld aan de energie, maar een maat voor de kans om het deeltje aan te treffen.

 Vorm van de potentiaal

In deze korte beschrijving van de theorie hebben we een rechthoekige potentiaal gebruikt, alsof het inderdaad een muur betreft. Dit is gedaan omdat dan de tunnelingkans nog relatief simpel te berekenen is. Maar in de natuur komen we zulke potentialen niet tegen. Dat maakt de berekeningen complexer, maar het verandert niet het principe van tunneling.

 Alfaverval van zware kernen

Laten we daarom eens kijken naar een paar natuurlijke verschijnselen die met tunneling begrepen kunnen worden. Een zeer belangrijke daarvan is het alfaverval van zware kernen. In tabel 25 van BINAS kun je zien dat vrijwel alle isotopen zwaarder dan lood (Pb) en enkele lichtere, vervallen door het uitzenden van alfadeeltjes: heliumkernen. Dit verval was al bekend sinds de ontdekking van radioactiviteit door Becquerel rond 1896, maar het was de natuurkundige Gamow die in 1928 een model ervan gaf gebaseerd op tunneling. Hij stelde zich voor dat een alfadeeltje in de kern al voor verval ontstaat doordat twee protonen en twee neutronen samenkomen, het alfadeeltje zit dus al als een ‘apart’ deeltje opgesloten in de kern.

De potentiaal van een atoomkern kun je opvatten als de ‘muur’ die nucleonen in de kern houdt. Die heeft een ingewikkelder vorm dan in figuur 1, zoals je ziet in figuur 2. Het grijze stuk is de potentiaal; links zit het alfadeeltje in de kern, rechts is het ‘ontsnapt’ of vervallen. De vorm kun je begrijpen door te redeneren vanuit een positief geladen deeltje dat de kern nadert. Door de coulombafstoting zal het deeltje steeds meer potentiële energie krijgen: het is of hij een helling op moet. Aan de rand van de kern wordt de afstotende kracht van lading overtroffen door de veel sterkere en aantrekkende kracht tussen de kerndeeltjes (de zogenoemde sterke kracht). Deze heeft een korte dracht en is dus niet buiten de kern voelbaar, daar overheerst de coulombafstoting. Maar in de kern is deze kracht des te meer voelbaar. Omdat hij sterker is, zal het deeltje naar binnen getrokken worden en als het ware in een put vallen.

Omgekeerd moet een deeltje dat de kern verlaat over of door deze potentieelbarrière heen. Het blijkt dat als je dat uitrekent vrijwel geen enkel alfadeeltje genoeg energie heeft om over de top te komen. Dan blijft alleen de mogelijkheid over dat het deeltje door de barrière heen gaat, oftewel dat het ontsnapt door tunneling.

Als je tabel 25 van BINAS nog eens nauwkeuriger bekijkt, zul je zien dat de halveringstijd van alfaverval per isotoop enorm verschilt, van bijvoorbeeld 1,9.10^-3 seconde bij Rn-86 tot 4,46.10⁹ jaar bij U-238. Dit is te begrijpen door te kijken naar de breedte van de potentiaal, de afstand tussen a en b in figuur 2. Als het alfadeeltje meer energie heeft is de potentieelbarrière waar deze doorheen moet veel smaller dan bij lage energie. Als je nu kijkt naar de kans op tunneling in formule (1) zie je dat bij een groter energietekort de exponent groter is, omdat én (E-E_pot) én  groter zijn. Een grotere exponent leidt vanwege de negatieve e-macht tot een zeer veel kleinere kans op tunneling en dus tot een grotere halfwaardetijd. Gebruikmakend van dit verband kon Gamov in 1928 de halfwaardetijd voor alfaverval van zware kernen al zeer nauwkeurig bepalen.

 Andere verschijnselen

Zonlicht ontstaat door fusie van waterstofkernen in de zon. Hiervoor moeten twee protonen zo dicht bij elkaar komen dat ze versmelten. Dat betekent dat het erg heet moet zijn, want dan hebben de protonen een hoge snelheid. De temperatuur die dan nodig is om de coulombafstoting tussen twee protonen te overwinnen, is minimaal 100 miljoen Kelvin. In Binas (tabel 32C) kun je zien dat de temperatuur binnen in de zon ongeveer 15 miljoen Kelvin is. Dat is dus niet voldoende om kernfusie te laten plaatsvinden. En toch vindt het wel plaats! De verklaring is ook hier tunneling. De protonen kunnen bij deze wat lagere temperatuur wel door elkaars afstoting tunnelen, zodat er wel kernfusie optreedt. Meer informatie hierover vind je bijvoorbeeld op de Wikipedia-pagina over kernfusie op de zon.

Een heel ander voorbeeld van tunneling vinden we in de biologie, namelijk bij DNA-mutatie. Mutaties spelen een belangrijke rol in biologische processen zoals het ontstaan van resistentie bij virussen, het ontstaan van kanker, maar ook van evolutionaire verandering. Er zijn meerdere vormen van mutaties, maar van één vorm (de zogenoemde puntmutatie) is het heel goed mogelijk dat tunneling daarbij een rol speelt. In de waterstofbruggen die de twee kanten van de DNA-helix verbinden, kan een proton ‘overspringen’ door tunneling. Dit zorgt voor een wijziging in het DNA. Meer informatie over dit proces vind je hier.

Bijna een eeuw na de eerste beschrijving van het tunnelingproces door Gamow is er veel over bekend. Het is een fascinerend idee, dat materie zomaar door een muur heen kan dringen. Tegelijkertijd is het een verschijnsel dat onlosmakelijk verbonden is met de beginselen van de quantummechanica.

 Met dank aan Lodewijk Koopman voor het nuttige commentaar op de tekst.