Van de vele soorten halo’s bespreken we hier de kleine kring: een grijze kring om de zon of maan die aan de binnenzijde roodachtig is en aan de buitenzijde blauwig. Hij is zichtbaar onder een hoek van 22o ten opzichte van de zon en is verreweg de meest voorkomende halo (ongeveer 9 op de 10 keer) en wordt vaak simpelweg aangeduid met ‘halo’ (zie figuur 1). Op YouTube staan een paar mooie filmpjes van halo’s.
Ontstaan halo's
Halo’s ontstaan als licht van de zon of maan ons bereikt via een ijle nevel ijskristallen. Deze nevels ontstaan vaak hoog in de lucht waar de temperatuur en luchtvochtigheid gunstig zijn voor de vorming van ontelbare kleine ijskristalletjes.
Als het licht van de zon op zo’n wolk kristallen valt zal een deel van het zonlicht door reflectie en breking naar alle kanten worden verspreid. Een waarnemer zal daardoor niet alleen licht rechtstreeks van de zon ontvangen maar ook licht uit de omgeving van de zon, daar waar nevel zit. De vraag is alleen waarom vooral uit de omgeving van 22o ten opzichte van de zon.
Het antwoord zit hem in iets dat karakteristiek is voor ijskristallen: ze hebben alle een zeshoekige structuur. Ze komen in verschillende vormen voor, maar het kristal dat verantwoordelijk is voor het ontstaan van de kleine kring heeft de vorm van een zuil. Het heeft zes rechthoekige zijvlakken en twee zeshoekige boven- en ondervlakken (zie figuur 2). De lengte van de zuil is ongeveer 20 μm.
Andere kristallen dragen niet of nauwelijks bij tot de vorming van de kleine kring, maar kunnen wel andere lichteffecten veroorzaken die minder vaak voorkomen. Ook niet álle zuilvormige ijskristallen in de wolk dragen bij tot de vorming van de kleine kring. Welke wel hangt af van de positie van de waarnemer ten opzichte van de zon: de kristallen moeten met hun lengteas loodrecht staan op de zonnestralen richting waarnemer. Er is nog een tweede eis waaraan hun oriëntatie moet voldoen, maar daarover later meer.
Lichtbreking en - reflectie
De kleine kring wordt gevormd door licht van de zon dat na breking door kristallen de waarnemer bereikt. Die breking vindt plaats bij het binnentreden en bij het verlaten van het kristal. Daarnaast kan het licht van richting veranderen door reflectie binnen het kristal. Omdat er vanuit elk kristal slechts één weg is richting waarnemer zal het licht over de juiste hoek van richting moeten veranderen om de waarnemer te bereiken. Of het licht de waarnemer uiteindelijk bereikt, zal afhangen van:
· Hoe het vlak gericht is naar de zon waar het licht binnentreedt
· De weg die het licht in het kristal aflegt
We zullen beide aspecten nader onderzoeken.
De stand van het vlak waar het licht binnentreedt bepaalt of het licht rechtsom of linksom gebroken wordt. In figuur 3 zie je van beide soorten breking een voorbeeld. Bij gelijke hoeken van inval is de breking naar rechts even sterk als naar links.
In welke mate het licht gebroken wordt hangt af van hoe schuin het licht op het vlak valt. Willen we dat effect onderzoeken bij verschillende standen van het kristal dan kunnen we ons onderzoek beperken tot slechts één vlak. Door de symmetrie van het kristal zal namelijk alles wat vinden voor dat ene vlak ook gelden voor de andere vlakken.
Voor de weg die het licht in het kristal aflegt lijken, voor een breking rechtsom, hooguit vier verschillende manieren in aanmerking te komen om na breking de waarnemer te bereiken die zich ergens verderop bevindt (zie figuur 4). We zullen ze één voor één onderzoeken op hun mogelijke bijdrage tot de vorming van de kleine kring, maar onder elke figuur staat alvast of er een bijdrage is of niet. De uitleg daarvan volgt daaronder.
Bijdrage verschillende brekingen
Manier 1 (via vlak A en B): draagt niet bij.
Dit komt nooit voor, omdat de gebroken lichtstraal uit vlak A altijd volledig teruggekaatst wordt bij vlak B.
Wil je het bewijs zien, klik dan hier.
Via vlak A en B?
Je kunt aantonen dat de hoek waarmee de gebroken lichtstraal vanuit vlak A op vlak B invalt altijd groter is dan de grenshoek, dus altijd volledige terugkaatsing geeft. Daartoe maken we een tekening waarbij de invalshoek iB op zijn kleinst is. Zelfs in dat geval wordt de grenshoek overschreden.
Hier het bewijs:
Manier 2 (via vlak A en C): draagt bij.
Dit is de belangrijkste veroorzaker voor het ontstaan van de kleine kring. Licht komt bij vlak A het kristal binnen en komt er bij vlak C weer uit. De hoek waarover het licht uiteindelijk wordt gebroken blijkt altijd te liggen tussen 22o en 43o. Hoeveel graden precies hangt af van de invalshoek waarmee vlak A wordt getroffen, dus in hoeverre het kristal gedraaid is om zijn lengte as ten opzichte van de zon.
Wil je een uitleg zien, klik dan hier.
Via vlak A en C?
De richtingsverandering ω waarmee de lichtstraal het kristal verlaat hangt af van de invalshoek iA. Het verband tussen ω en iA is geen gemakkelijke. Om dat verband te vinden zetten we drie stappen:
Stap 1: Situatie tekenen en ω vastleggen (fig a).
Stap 2: Hoeken rA, iC en rC uitdrukken in hoek iA (fig b).
Stap 3: Resultaat van stap 2 invullen in die van stap 1.
Resultaat:
Om deze formule te begrijpen kun je er het best een grafiek van tekenen, ofwel de waarden van ω uitzetten tegen de hoek iA. Daarvoor kun je gebruik maken van Excel. Om de grafiek van deze formule in Excel te kunnen bekijken moet je een paar aanpassingen doen zodat Excel hem ook begrijpt:
1. Inverse functie van sinus (sin-1) invoeren als boogsin.
2. Hoeken in graden, waar nodig, laten omrekenen naar radialen en omgekeerd
Resultaat:
Hierin is A5 de variabele invalshoek iA. In fig c zie je de grafiek die Excel ervan maakt.
Conclusie: ω > 22o en maakt dat de halo begint bij een hoek van 22o.
Wat verder opvalt is dat Excel voor 0o < iA < 13o geen resultaat geeft.
En dat klopt, want als je voor deze gevallen iC uitrekent met de formule in stap 2 vind je: 50o < iC < 60o en dat is groter dan de grenshoek.
Immers:
Bij vlak C treedt dan volledige terugkaatsing op en is er geen uittredende hoek ω.
Manier 3 (via vlak A en D): draagt niet bij.
Deze is het gemakkelijkst te begrijpen. De vlakken A en D zijn evenwijdig dus het ‘planparallelle-plaat effect’ treedt op: de lichtstraal verlaat het kristal zonder richtingsverandering, alleen een beetje verschoven. Dus geen breking richting waarnemer.
Manier 4 (via A, B en C): draagt bij.
In dit geval komt de lichtstraal bij vlak A het kristal binnen, weerkaatst aan vlak B en komt er bij vlak C weer uit. De hoek waarover het licht nu wordt gebroken ligt tussen 22o en 90o, weer afhankelijk van de stand van het kristal ten opzichte van de zon. Dus hij draagt ook bij tot de vorming van de kleine kring.
De uitleg hiervoor vind je hier.
Via vlak A, B en C?
Een weg die we in zes stappen gaan volgen.
Stap 1: Wanneer treedt deze situatie op?
Reflectie aan vlak B kan alleen plaatsvinden als de gebroken lichtstraal uit vlak A vlak B ergens kán treffen, m.a.w. als α < β (zie fig a). Deze situatie blijkt alleen mogelijk te zijn als het kristal zodanig gedraaid is ten opzichte van de zon dat de hoek van inval van de lichtstraal op vlak A > 41o. Bewijs: zie fig a.
Stap 2: Hoe groot is de totale richtingsverandering?
De lichtstraal verandert drie keer van richting, hoek α bij vlak A, hoek β bij vlak B en hoek γ bij vlak C. De totale breking noemen we ω (fig b).
Stap 3: Eerst een uitdrukking voor hoek α zoeken.
Hoek α hangt alleen af van de invalshoek iA, want de hoek van breking rA wordt bepaald door iA (wet van Snellius). Zie fig c.
Stap 4: Nu een uitdrukking voor hoek β.
Voorlopig gaan we niet verder dan hoek β uit te drukken in de brekingshoek rA (fig d).
Stap 5: Tenslotte een uitdrukking voor hoek γ.
Verrassend, hoek γ blijkt volledig bepaald te worden door de breking bij vlak A (fig e).
Stap 6: Nu de totale breking bepalen.
Door invulling van de gevonden uitdrukkingen voor α, β en γ vinden we voor de totaal brekende hoek ω:
ω = α + β + γ = 2iA - 60o
De formule in Excel ingevoerd als:
(met A11 als invalshoek iA) levert de volgende grafiek:
Conclusie:
Deze weg door het kristal via vlak B is alleen mogelijk als de lichtstraal invalt onder een hoek iA > 41o. Alleen in dat geval bereikt de gebroken lichtstraal uit vlak A vlak B.
Bij grotere invalshoeken wordt de lichtstraal gebroken onder een hoek van 22o of meer en draagt bij tot de vorming van de kleine kring. Op een gegeven moment wordt hij zelfs groter dan 90o, maar dan keert de lichtstraal zich in feite van de waarnemer af en draagt niet meer bij.
Waarom de meeste breking bij 22o?
Dus alleen de breking van manier 2 en 4 dragen bij tot de vorming van de kleine kring. Nu moeten we nog begrijpen waarom de lichtintensiteit het grootst is rond 22o en afneemt bij grotere hoeken. Daarvoor kun je het best beginnen de situatie te bekijken in een plat vlak dat, vanuit de waarnemer gezien, evenwijdig ligt aan de zonnestralen. In figuur 5 zijn twee van dit soort vlakken getekend, één evenwijdig aan de horizon en één schuin. We beginnen met het vlak evenwijdig aan de horizon.
Dit platte vlak doorsnijdt de wolk ijskristallen en bevat kristallen van elke soort qua vorm, afmeting en oriëntatie. We beperken ons tot de kristallen in dit vlak die bijdragen tot de vorming van de kleine kring. Dit zijn dus de zuilvormige die met hun lengteas loodrecht staan op de zonnestralen. De tweede eis (waar we het eerder over hadden) is dat ze ook loodrecht staan op het gekozen platte vlak. In figuur 6 is een bovenaanzicht van deze situatie getekend waarin we tegen het zeskantige bovenvlak van elk kristal aankijken.
Het zonlicht dat op kristallen met deze bijzondere oriëntatie valt wordt dan gebroken onder een hoek van 22o of meer. Voor de kristallen rechts van de waarnemer gaat het om een breking rechtsom, voor de kristallen links van de waarnemer linksom. Een waarnemer die met zijn gezicht naar de zon staat, ziet dus links en rechts van de zon licht komen uit deze richtingen. Dat het meeste licht uit de richting van 22o komt is een gevolg van hoe het licht gebroken wordt bij manier 2 (bij vlak A erin en vlak C er weer uit). Het blijkt dat in deze situatie bij heel veel standen van het kristal het licht gebroken wordt onder een hoek van 22o en bij veel minder standen onder grotere hoeken.
Wil je hiervan een uitleg zien, klik dan hier
De kleine kring is van binnen scherp begrensd en wordt naar buiten toe steeds ijler. Hoe komt dat?
De kleine kring bestaat uit zonlicht dat via ijskristallen wordt gebroken richting waarnemer. We vonden twee manieren waarbij dat mogelijk is: een lichtstraal gaat er bij een rechthoekig zijvlak in en komt er twee oppervlakken verder weer uit of wordt onderweg nog weerkaatst tegen het tussenliggende zijvlak (fig a).
De hoek ω die de uittredende lichtstraal maakt met de oorspronkelijke richting hangt af van de hoek waarmee de lichtstraal invalt op vlak A. Deze invalshoek iA verandert zodra het kristal draait om zijn lengteas ten opzichte van de zon.
In fig b staat voor beide situaties de grafiek die we vonden voor de totale brekingshoek ω als functie van de invalshoek iA.
De grafieken laten het volgende zien:
1. De lichtstraal breekt onder een hoek ω die altijd groter is dan 22o, vandaar de scherpe begrenzing van de kleine kring;
2. Als je de verticale as verdeelt in gelijke intervallen Δω en vervolgens kijkt naar de bijbehorende intervallen ΔiA op de horizontale as dan zie je dat ΔiA het grootst is bij ω=22o. Dus bij heel veel standen van het kristal wordt het licht gebroken in de richting van 22o en bij veel minder standen in richtingen > 22o;
3. Als de brekende hoek ω > 35o wordt zie je dat bij toenemende ω een grotere invalshoek iA hoort. Het licht valt dan steeds schuiner in op vlak A. Bij schuinere inval zal meer licht weerkaatst worden aan vlak A. Dan blijft er minder licht over om via vlak B en/of C de waarnemer te bereiken. Dus ook nu minder licht bij grotere ω.
Per saldo: het licht van de zon wordt door deze kristallen gebroken onder een hoek van 22o of meer richting waarnemer. De lichtintensiteit neemt af naarmate de hoek ten opzichte van de zon groter wordt. Dus de krans wordt naar buiten toe steeds ijler.
Verder is in figuur 6 nog op te merken dat het licht van de zon dat direct richting waarnemer gaat iets is afgezwakt. Een deel van dit licht wordt immers ook gebroken onder een hoek van 22o of meer en zal daardoor de waarnemer niet meer bereiken.
Conclusie: Een waarnemer ziet in het platte vlak naast het directe licht van de zon ook licht komen uit een omgeving links en rechts van de zon, onder een hoek van 22o of meer. De lichtintensiteit is het grootst bij 22o en neemt af bij grotere hoeken (zie figuur 7). Het directe zonlicht neemt wat af waardoor de zon iets lichtzwakker wordt waargenomen.
Ontstaan van de kring
We hoeven nu nog maar één stap te zetten om de kleine kring te zien ontstaan. Daartoe laten we het vlak, evenwijdig aan de horizon in figuur 5, draaien om de as die de waarnemer met de zon verbindt. In elk gedraaid vlak kunnen we dezelfde redenering gebruiken met hetzelfde resultaat. Het beeld dat dan ontstaat zie je in figuur 8.
Let wel, het gaat in elk gedraaid vlak alleen om de zuilvormige kristallen die én loodrecht staan op de zonnestralen én loodrecht op het gedraaide vlak. Deze ijskristallen liggen in de nevel langs cirkels die door de waarnemer worden gezien onder een hoek van 22o of meer ten opzichte van de zon (zie figuur 9).
Uiteraard liggen op deze cirkels nog veel meer zuilvormige ijskristallen die met hun lengteas wel loodrecht staan op de zonnestralen, maar niet in de richting van de cirkel. Zij dragen niet bij tot de vorming van de kleine kring voor déze waarnemer. Dat kunnen zij wel doen, liggend op andere cirkels, voor een ándere waarnemer die zich elders bevindt.
Nu nog de kleuren in de ring, hoe ontstaan die?
Het licht van de zon bestaat uit verschillende kleuren. Elk van deze kleuren wordt anders gebroken bij de overgang van lucht naar ijs: blauw licht wordt het sterkst gebroken en rood het zwakst (zie figuur 10).
Dus voor een waarnemer begint de rode krans onder een kleinere hoek dan de blauwe. Daardoor ontstaat een grotere blauwe krans met daarin en deels eroverheen een kleinere rode. Links in figuur 11 wordt dit verduidelijkt door van elk de helft te laten zien. Rechts in figuur 11 zie je het resultaat als je ze beide tegelijk volledig ziet. Doe je dit voor alle kleuren dan ontstaat door kleurmenging een grijsachtige krans met een scherp begrensde rode binnenrand die naar buiten toe vaag blauwachtig uitloopt, de kenmerkende kleuren van een halo.
