Meten met de torsiebalans van Cavendish

Ooit gehoord van John Michell? Waarschijnlijk niet. De naam van deze Britse wetenschapper, die geboren werd in 1724, wordt nauwelijks in verband gebracht met de natuurkunde die wij kennen. Toch heeft hij belangrijke experimenten bedacht en uitspraken gedaan die zijn tijd ver vooruit waren. Tijdens zijn carrière verdiepte hij zich in de geofysica, astrologie, optica en de zwaartekracht. Al in zijn tijd - zo’n tweehonderd jaar voor Albert Einstein zijn relativiteitstheorie opstelde - was het Michell die als eerste veronderstelde dat er zwarte gaten zouden bestaan.

Schatting massa aarde

Net als veel andere wetenschappers was Michell geïnteresseerd in het bepalen van de massa van de aarde. Helaas was het niet mogelijk om deze te bepalen met de gravitatiewet van Newton, omdat de waarde van de gravitatieconstante nog niet bekend was. Wel lukte het een groep wetenschappers in 1776 om met een ingewikkeld experiment – het slingerexperiment, dat oorspronkelijk bedacht was door Newton – te meten wat de zwaartekracht was die een berg op een slinger uitoefende – ze gebruikten hiervoor de berg Schiehallion in Schotland.

Met de uitkomsten van dit slingerexperiment konden ze een schatting maken van de massa van de aarde. Zo kwamen ze uit op 5.10²⁴ kg. Best knap als je bedenkt dat ze maar 20% naast de huidige waarde zaten!

Torsiebalans Cavandish

John Michel was echter niet tevreden over deze schatting. Hij vond dat er te veel aannames gedaan waren. Daarom bedacht hij een nauwkeuriger manier om experimenteel de massa van de aarde te bepalen namelijk met een torsiebalans. Helaas stierf hij in 1793 nog voordat hij dit experiment met de torsiebalans had kunnen uitvoeren. Gelukkig liet hij zijn bevindingen na aan zijn vriend, de wetenschapper Henry Cavendish. Hij was het die de constructie daadwerkelijk bouwde en hiermee metingen uitvoerde. Zo werd de naam van Cavendish uiteindelijk verbonden aan het meetinstrument.

Massa aarde gevonden

De krachten die Cavendish met het meetinstrument moest meten, zijn ontzettend klein. Door heel precies te werken en de juiste hulpmiddelen te gebruiken, kreeg hij het toch voor elkaar om ze te meten. In 1798 lukte het Cavendish om met de torsiebalans van Michell de massa van de aarde te bepalen. Hij kwam uit op een massa van 5,98.10²⁴ kg een waarde die minder dan 1% afwijkt van de waarde die wij nu kennen!

Gravitatiewet

Hoe werkt de torsie balans van Cavendish? Hiervoor kijken we eerst naar het begrip zwaartekracht. Meestal denken we bij zwaartekracht meteen aan de kracht die we ondervinden doordat de aarde aan ons trekt. Newton liet met zijn gravitatiewet echter zien dat alle massa’s zwaartekracht op elkaar uitoefenen. Als je nu iets kunt maken waarbij je heel precies de kracht die massa’s op elkaar uitoefenen kunt meten, dan weet je wat deze onderlinge zwaartekracht is.

Constructie met loden bollen

Michell bedacht een opstelling – de torsiebalans – waarmee hij de massa van de aarde wilde bepalen. Hiervoor ontwierp hij een constructie met vier loden bollen, twee grote en twee kleine. De grote bollen hadden een diameter van 300 mm en een massa van 158 kg. De twee kleine bollen hadden een diameter van 51 mm met een massa van 0,73 kg. De bollen van gelijke grootte hingen samen aan één arm. Beide armen werden onafhankelijk van elkaar opgehangen.

Rotatie door gravitatiekracht

Door de kracht die de dicht bij elkaar hangende bollen op elkaar uitoefenden, zouden de kleine bollen een klein beetje naar de grote bollen toe moeten bewegen, redeneerde Michell. Deze verplaatsing zie je in figuur 4. Hierdoor zou de arm waaraan de kleine ballen hangen iets gaan verdraaien, wat ervoor zorgt dat de draad waaraan de arm hangt een klein beetje om zijn as draait – dit noem je torderen. Als de kracht in de ophangdraad door de torsie even groot zou zijn als de kracht op de ophangdraad door de rotatie als gevolg van de onderlinge zwaartekracht tussen de bollen, zou er een evenwichtssituatie ontstaan. De bollen zouden dan stil hangen. Het torsiemoment van de ophangdraad – de torsiecoëfficiënt $\kappa$  vermenigvuldigd met de rotatiehoek $\theta$  – is dan gelijk aan het moment van de krachten op de twee kleine ballen die beide een afstand van L/2 hebben tot de ophangdraad.

$\kappa \cdot \theta = (\frac{L}{2}+\frac{L}{2})\cdot F_{gravitatie} = L\cdot F_{gravitatie} \quad \quad(1)$

Hierin is  $\kappa$ de torsiecoëfficiënt van de draad,  $\theta$ de rotatiehoek, L de lengte van de arm waaraan de bollen hangen en F_gravitatie de zwaartekracht tussen de kleine en de grote bol. Michell bedacht dat als je vooraf de torsiecoëfficiënt van de draad bepaald had, je door het meten van de rotatiehoek ( $\theta$ ) de onderlinge zwaartekracht (F_gravitatie) tussen de kleine en grote bollen zou kunnen berekenen.

Torsiebalans afschermen

Na de dood van Michell voerde Cavendish het door Michell bedachte experiment uit. Dat was nog niet eenvoudig, hij moest voorkomen dat luchtstromingen of temperatuurverschillen zijn experiment zouden beïnvloeden. Daarom zette hij de torsiebalans in een houten doos in een gesloten schuur op zijn landgoed. Hij maakte gaten in de wanden om met een telescoop de rotatiehoek te kunnen bepalen. In figuur 5 zie je een schaalmodel van de opstelling die Cavendish gebruikte.

Opzet meetopstelling

In figuur 5 zie je dat de twee grote, zware metalen bollen aan een arm hingen. Deze arm zat bovenaan vast aan een draaischijf. Vanaf de buitenkant van de ruimte waar de balans in stond, kon je de draaischijf verdraaien, zodat je zelf de positie van de grote bollen kon aanpassen. De twee kleine bollen hingen aan een andere arm. Deze arm hing aan een draad die kon torderen (draaien).

Torsiecoëfficiënt bepalen

Eerst moest Cavendish de torsiecoëfficiënt bepalen van de draad waaraan de arm met de kleine bollen was opgehangen. Dit deed hij door de natuurlijke trillingstijd (T) te bepalen van de torsiebalans.

Natuurlijke trillingstijd bepalen

Voor het bepalen van de natuurlijke trillingstijd moest Cavendish de torsiedraad laten torderen. Dit deed hij waarschijnlijk door de twee grote bollen in de buurt van de kleine bollen te brengen, zodat de zwaartekracht tussen de bollen de draad liet torderen. Daarna keek hij hoelang het duurde voordat de bollen één keer heen en weer gedraaid waren.

Je kunt dit vergelijken met het bepalen van de natuurlijke trillingstijd van een veer. Stel dat je een veer hebt en je hangt hier een gewicht aan. Eerst houd je het gewicht nog vast, zodat de veer geen kracht ondervindt van het gewicht. Zodra je dan het gewicht loslaat, gaat de veer uitrekken door de kracht van het gewicht en komt de veer in trilling. Door de kracht van het gewicht rekt de veer steeds verder uit, totdat de kracht in de veer groter is dan de zwaartekracht op het gewichtje. Dan zal de veer weer inveren en trekt deze het gewicht weer omhoog. Hoe dit gaat, zie je in deze applet.

Als je nu kijkt hoe lang de veer doet over één oscillatie, dan weet je de trillingstijd. Ditzelfde principe speelde bij de torsiebalans van Cavendish. Je kunt de torsiecoëfficiënt bij deze draaiende trillingen dan vergelijken met de veerconstante van een op en neer trillende veer.

De natuurlijke trillingstijd van de torsiebalans is:

$T = 2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{I}{\kappa }} \quad \quad (2)$    

Hierin is T de trillingstijd, I het massatraagheidsmoment van de bollen en  $\kappa$ de torsiecoëfficiënt van de draad (zie ook figuur 4).

Cavendish nam aan dat de massa van de arm waar de twee bollen aan hingen verwaarloosbaar was. Hij kon zo het massatraagheidsmoment als volgt uitrekenen:

$I = m\cdot (\frac{L}{2})^{2}+(\frac{L}{2})^{2} = m\cdot \frac{L^{2}}{2} \quad \quad (3)$

Dit kon ingevuld worden in de formule van de trillingstijd:

$T = 2\cdot \pi \sqrt{\frac{m\cdot L^{2}}{2\cdot \kappa }} \quad \quad (4)$

Cavendish bepaalde met zijn experiment dat de natuurlijke trillingstijd van de torsiebalans 20 minuten was. Hiermee kon hij de waarde van de torsiecoëfficiënt uitrekenen.

$\kappa = \frac{4\cdot \pi ^{2}\cdot m\cdot L^{2}}{2\cdot T^{2}} \quad \quad (5)$

Voorbereiden meting

Cavendish wist nu de waarde van de torsiecoëfficiënt. Nu moest hij de hoek bepalen waarover de arm met de twee kleine bollen roteerde, hoek $\theta$ , om hieruit de gravitatiekracht tussen de bollen te kunnen bepalen. Voordat hij dit kon doen, zorgde hij dat de opstelling in de uitgangspositie stond. Hiervoor draaide hij de arm van de twee grote bollen zo, dat deze loodrecht stond op de arm van de kleine bollen. Daarna draaide hij aan het torsiehoofd (figuur 2), totdat de draad waaraan de arm van de kleine bollen hing niet getordeerd was (dat was het geval als de bollen stil hingen, bij torsie zouden ze namelijk gaan draaien).

Rotatiehoek bepalen

Daarna startte het experiment. Hij draaide de grote bollen zo, dat ze in de buurt van de kleine bollen hingen. Door de gravitatiekracht die de kleine en de grote bollen op elkaar uitoefenden, draaiden de kleine bollen een klein beetje naar de grote bollen toe. Hierdoor tordeerde de draad waar de arm van de kleine bollen aanhing over een hoek $\theta$ . Cavendish zou dan via zijn telescopen en een in de doos aangebrachte noniusschaal de verplaatsing van de kleine bol moeten kunnen meten - hij kon tot wel 0,25 mm nauwkeurig meten. Hieruit zou hij dan de hoek kunnen bepalen. 

Figuur 6: Noniusschaal. Bron: Wikipedia.

Balans oscilleerde

Het meten van deze hoek was echter toch niet zo eenvoudig, omdat de balans nooit helemaal stil hing. Bij het dichterbij brengen van de grote bollen, begonnen de kleine bollen naar de grote bollen toe te bewegen, schoten iets door en bewogen weer terug – net als bij een veer waar je een gewicht aan hangt. Ze kwamen daardoor vanzelf in natuurlijke trilling. Door de lage demping en de lange trillingsperiode moest Cavendish zijn metingen doen terwijl de balans oscilleerde. Door veel metingen te doen, kon hij de rotatiehoek in de evenwichtssituatie bepalen. Hij wist nu de waarde van  $\kappa$ en van  $\theta$ en kon zo met formule (1) de waarde van de onderlinge zwaartekracht (F_gravitatie) uitrekenen.

Massa aarde bepalen

Uit de verhouding tussen de zwaartekracht tussen de kleine en grote bollen en de zwaartekracht tussen de aarde en de kleine bol, kon Cavendish uiteindelijk de massa van de aarde berekenen. Zo vond Cavendish een waarde van 5,98.10²⁴ kg.

Waarde gravitatieconstante bepalen

Pas vele jaren na het experiment van Cavendish werd de torsiebalans ook gebruikt om de waarde van de gravitatieconstante te bepalen. Als je weet wat de zwaartekracht is tussen de twee bollen, dan kun je namelijk met de gravitatiewet uitrekenen wat de waarde van G is.

$F_{gravitatie} = \frac{m\cdot M\cdot G}{r^{2}} \quad \quad (6)$

$G = \frac{F_{gravitatie}\cdot r^{2}}{m\cdot M} \quad \quad (7)$

Als je formule (1) gebruikt om de gravitatiekracht om te rekenen als functie van $\kappa$ ,  $\theta$ en L en je dan voor k formule 5 gebruikt, dan vind je:

$F_{gravitatie} = \frac{2\cdot \pi ^{2}\cdot m\cdot L\cdot \theta }{T^{2}} \quad \quad (8)$

Als je dit invult in formule (7), dan vind je uiteindelijk voor de torsiebalans van Cavendish, dat de gravitatieconstante als volgt berekend kan worden uit de experimentele waarden:

$G = \frac{2\cdot \pi ^{2}\cdot L\cdot r^{2}\cdot \theta }{T^{2}\cdot M} \quad \quad (9)$

Nog steeds in gebruik

Het is best bijzonder dat Cavendish al in 1798 dit experiment uitvoerde, waarmee hij de massa van de aarde kon berekenen en waarmee later ook de gravitatieconstante is bepaald. Zeker als je bedenkt dat wetenschappers nog steeds variaties op deze torsiebalans van Cavendish gebruiken voor het bepalen van de gravitatieconstante.

Wil je het effect van de zwaartekracht tussen twee massa’s zien? Bekijk dan dit filmpje, waarin ze het experiment doen met een vereenvoudigde opstelling van de torsiebalans van Cavendish.

Figuur 7: Vereenvoudigde opstelling van torsiebalans Cavendish. Bron: YouTube.