Als je wilt weten hoe zwaar je bent, ga je op de weegschaal staan en kun je aflezen wat jouw massa is in kilogram. Eigenlijk meet de weegschaal je gewicht, oftewel de kracht waarmee jij op de weegschaal drukt als gevolg van de zwaartekracht. De weegschaal rekent deze kracht om naar kilogram. Maar wat nu als je van een planeet wilt weten wat zijn massa is? Dan zul je een andere manier moeten vinden om deze indirect te achterhalen. Met behulp van de kennis die we dankzij Newton hebben, kunnen we bijvoorbeeld de massa van onze planeet, de aarde, relatief eenvoudig bepalen.
Gravitatiewet
Het antwoord op de vraag: “Hoe bereken je de massa van de aarde?” begint bij Newtons ontdekking dat twee massa’s met een tussenafstand ‘r’ elkaar aantrekken. Hij formuleerde hiervoor de gravitatiewet, die hij publiceerde in 1687. Hierin gaf hij aan wat de kracht is tussen twee objecten:
$F= \frac{m\cdot M\cdot G}{r^{2}}$
Hierbij staat m voor de massa van het eerste object, M voor de massa van het tweede object en is G de gravitatieconstante.
Slingerexperiment
Het was een handige formule, deze gravitatiewet, maar in Newtons tijd was nog niet bekend wat de waarde van G was, waardoor het berekenen van deze kracht nog niet lukte. Newton vermoedde op basis van zijn theorie dat een slinger die dicht bij een berg hing, een kleine afwijking zou hebben door de zwaartekracht die de berg uitoefende op de slinger. Hoewel hij zelf dacht dat dit slingerexperiment niet uitvoerbaar was, deden wetenschappers na Newtons dood – hij overleed in 1727 – een geslaagde poging om met dit experiment de massa van de aarde te schatten.
Torsiebalans Cavendish
Het was mooi dat het slingerexperiment lukte, maar wetenschappers wilden de massa ook nauwkeurig kunnen berekenen, zodat ze echt zouden weten wat de massa van de aarde was. Daarom bedacht één van hen een experiment om de waarde van G te achterhalen. Het experiment, dat bekendstaat als de torsiebalans van Cavendish, slaagde en rond 1798 was de waarde van G bekend.
Middelpuntzoekende kracht
Door dit experiment weten we nu wat de waarde van G is en kunnen we met de gravitatiewet de massa van de aarde berekenen. Voor de twee massa’s die elkaar aantrekken neem je de aarde en de maan die om de aarde heen draait.
Stel dat je de massa van de maan niet weet. Wat je wel weet, is dat de middelpuntzoekende kracht op de maan gelijk is aan de kracht die de aarde en de maan op elkaar uitoefenen – de maan blijft immers in zijn baan. Dus:
$\frac{m_{maan}\cdot v_{maan}^{2}}{r}= \frac{m_{maan}\cdot M_{aarde}\cdot G}{r^{2}}$
Als je nu voor de snelheid van de maan 2 $\pi$ r/T invult (T is de omlooptijd van de maan en r de afstand van de maan tot het middelpunt van de aarde) en de formule omrekent, vind je het volgende:
$M_{aarde}= \frac{4\cdot \pi ^{2 }\cdot r^{3}}{G\cdot T^{2}}$
Met deze formule kun je dan de massa van de aarde berekenen, door in de formule de waarde van de gravitatieconstante (G), van de omlooptijd van de maan (T) en van de onderlinge afstand van de aarde tot de maan (r) in te vullen. Zo komt je uit op een massa van de aarde van 6,0.1024 kg. Dat je het zo kunt berekenen is goed nieuws, want deze berekening kun je dan ook maken voor iedere andere planeet waar een maan omheen draait en waarbij je de afstand van de maan tot de planeet en de omlooptijd van deze maan weet!
Planeten zonder manen
Bij het berekenen van de massa van de aarde kun je dus gebruikmaken van de gegevens over de afstand tot de maan en zijn omlooptijd. Er zijn echter ook planeten in ons zonnestelsel waar geen maan omheen draait, bijvoorbeeld de planeten Mercurius en Venus. Hoe kun je bij deze planeet toch de massa bepalen? Tegenwoordig kunnen we een satelliet naar deze planeten toe sturen. Door het effect te meten die de zwaartekracht van de planeet heeft op de afbuiging van de baan van zo’n satelliet, kun je dan de massa bepalen van deze planeet.
Beïnvloeden baan planeten
Voordat er satellieten naar planeten gestuurd konden worden, moest de informatie over de massa worden afgeleid uit de kennis over hoe de betreffende planeet de banen van andere planeten beïnvloedde. Dit ging om heel kleine veranderingen. Je kon bijvoorbeeld kijken welke afwijking er is in de baan van de aarde veroorzaakt door Venus. Dit is echter heel moeilijk te bepalen, waardoor het eigenlijk niet mogelijk was om de massa nauwkeurig te bepalen en het dus bleef bij een schatting.
