Rotaties

Bovenstaand vraagstuk is een van de inleidende vragen van de U-Talent-module rotaties. In twee dagen op de Universiteit Utrecht verdiepen leerlingen uit de bovenbouw VWO zich in dit specifieke onderdeel van de mechanica dat op het standaardcurriculum van de middelbare school niet aan bod komt. Het onderwerp rotaties leent zich uitstekend om de leerling die wat meer in haar of zijn mars heeft eens goed uit te dagen.

In dit artikel bespreken we het traagheidsmoment zoals dat bepaald kan worden met een eenvoudig practicum. Daarnaast wordt beschreven hoe dit practicum is ingebed in het programma.

Dit is een bewerkte versie van een artikel dat eerder verschenen is in het Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde. Onderdelen uit dit artikel die vooral gericht zijn op docenten zijn in de weergave hier als uitklapbare tekst aangeboden.

Terug naar de cilinders

De twee cilinders (een holle en een massieve) met dezelfde massa en afmetingen liggen bovenaan een helling. Vanuit stilstand worden beide cilinders gelijktijdig los gelaten. De cilinders rollen versneld de helling af en het blijkt dat de holle cilinder later het einde van de helling bereikt dan de massieve cilinder. Voor een aantal leerlingen is dit een verrassing. Met behulp van de wet van behoud van energie wordt het experiment nabesproken. De potentiële energie (zwaarte-energie) is voor beide cilinders bovenaan de helling gelijk. Onderaan de helling is de translatie-energie van de massieve cilinder iets groter dan die van de holle cilinder. Kennelijk is er een derde vorm van energie: de rotatie-energie. De holle cilinder heeft onderaan de helling meer rotatie-energie dan de massieve cilinder.

Nieuwe begrippen: traagheidsmoment en rotatie-energie

Om vat te krijgen op deze rotatie-energie wordt het begrip traagheidsmoment geïntroduceerd. Daarna worden de overeenkomsten en verschillen tussen translaties en rotaties besproken. De leerlingen krijgen een overzicht van de begrippen en formules en leren zo de analogie tussen translaties en rotaties. De rol die massa inneemt bij translaties is dezelfde rol als het traagheidsmoment bij rotaties. Voor de energie komt bijvoorbeeld ½ I ω 2 in de plaats van ½ mv 2. Voor de leerling die goed uit de voeten kan met translaties is dit een stap die prima te nemen is.

 Hierna zijn leerlingen in staat om deze nieuwe begrippen toe te passen in verwerkingsopgaven.

Metingen

Nu het begrip traagheidsmoment is geïntroduceerd, wordt de grootte ervan afgeleid voor een holle cilinder. Het traagheidsmoment I van een holle cilinder met massa m en straal r is te berekenen met de vergelijking:

  $I = m r ^{2}$

Met gebruik van deze formule gaan de leerlingen het traagheidsmoment bepalen van een fietswiel dat aan de velg verzwaard is. Een fietswiel is op zich al een goede benadering voor een holle cilinder met alle massa op de mantel maar door het verzwaren van de velg wordt dit een nog iets betere benadering. In dit geval is de massa van het fietswiel door deze extra gewichtjes bijna verdubbeld. Op basis van dit traagheidsmoment kan teruggerekend worden naar de massa van het fietswiel.

Filmpje: Meetopstelling voor het bepalen van het traagheidsmoment van het verzwaarde fietswiel.

Het fietswiel is gemonteerd op een tafel en om het fietswiel is een draad gespannen. Deze draad is via een katrol en een gatenwiel verbonden met een tweede katrol waaraan een massa m₁ bevestigd is. Roteren van het wiel is aanvankelijk geblokkeerd door een stokje dat letterlijk tussen de spaken van het wiel gestoken wordt. Wanneer dit stokje weggehaald wordt, gaat de massa versneld naar beneden en gaat het wiel roteren. De zwaarte-energie van massa m₁ wordt omgezet in translatie-energie van m₁ en rotatie-energie van het fietswiel met massa m₂. Uiteraard gaat er ook energie verloren. Dit verlies wordt in de les besproken, maar binnen deze proef vooralsnog verwaarloosd.

In de meetopstelling wordt het gatenwiel in beweging gebracht door de draad die er langs gespannen is. Met behulp van een lichtsluisje worden de spaken van dit gatenwiel geteld en hieruit is de afstand te bepalen die massa m₁ heeft afgelegd. Een tweede optie is om het gatenwiel buiten beschouwing te laten en het geheel te filmen om daarna met video-analyse de positie van m₁ te bepalen. De leerlingen maken in principe gebruik van het gatenwiel; de meetwaarden die in dit artikel besproken worden zijn gebaseerd op video-analyse.

In onderstaande figuur 5 wordt de positie van m₁ weergegeven als functie van de tijd.

Wanneer we de meetwaarden fitten aan een kwadratische functie, blijkt deze functiefit een zeer goede benadering te zijn. Van de fit is het eenvoudig de afgeleide te bepalen. Hieruit blijkt dat de massa m₁ een snelheid heeft van v₁ = 1,53 m/s als de massa 0,71 m gedaald is vanaf het beginpunt. 

Voordat we dit gaan analyseren is het goed even te kijken naar de rotatie van het fietswiel. De massa m₁ die via het katrol naar beneden valt, heeft een snelheid v₁. Omdat deze massa het fietswiel laat roteren door middel van de draad, beweegt een denkbeeldig meetpunt op de rand van de velg ook met een snelheid v₁. Het fietswiel roteert met een hoeksnelheid ω waarvoor geldt: 

   $v = \omega r$

De rotatie energie wordt gegeven door

$E_{rot} = \frac{1}2{} I\omega ^{2}$

Hieruit is eenvoudig af te leiden dat:

$E_{rot}=\frac{1}{2}m r^{2}\, \frac{v^{2}}{r^{2}}$

We zien dat we de r^₂ uit de vergelijking kunnen schrappen. Omdat fietswiel en m₁ met elkaar verbonden zijn door de genoemde draad, weten we dat we in bovenstaande vergelijking voor v v₁ mogen invullen:

$E_{rot}\, =\, \frac{1}{2}\, m_{2}\, v_{1}^{2}$

Eenvoudig is nu te zien dat:

  $m_{1}\, g\, h\, =\, \frac{1}{2}\, \left (m_{1} +m_{2} \right ) \, v_{1}^{2}$

Oftewel: als de massa m₁ over een afstand h gedaald is, dan is de zwaarte energie van genoemde massa omgezet in translatie-energie van deze massa (met massa m₁) en rotatie energie van het fietswiel (met massa m₂). Afgezien van m₂ zijn alle variabelen bekend en dus is ook m₂ goed te bepalen. We weten dat m₁ = 0,30 kg, h = 0,71 m en v₁ = 1,53 m/s.

We vinden nu voor de massa van het wiel een waarde van m₂ = 1,5 kg. Dit blijkt redelijk overeen te komen met de 1,7 kg die de weegschaal aangeeft als we daar het wiel op leggen. Plenair wordt het experiment nabesproken en wordt besproken wat het effect is van het gegeven dat een fietswiel geen ideale holle cilinder is, of de buitenkant van de velg wel de juiste waarde is om mee te rekenen en wat het gevolg is van de wrijvingskrachten in de verschillende katrollen.