Analyseren van een raketvlucht

Je hebt een raket gebouwd en je kunt nu dus ook metingen doen aan de raket en de luchtdrukinstallatie. Er is een aantal analyse mogelijkheden, waarmee je de lanceersnelheid van de raket kunt berekenen of bepalen.

 

Lancering van een raket in het park. Klik op onderstaande sectie voor meer filmpjes van raketlanceringen.

Je kunt deze video nu niet bekijken omdat je onze cookies niet geaccepteerd hebt. Wijzig cookievoorkeuren

Twee lanceringen van verschillende luchtdrukraketten in beeld.

We zullen eerst kijken naar de expansie van de lucht in de installatie. Deze expanderende lucht verricht arbeid op de raket en de raket krijgt door deze arbeid kinetische energie. Als we de kinetische energie weten kunnen we de vertreksnelheid uitrekenen.

De tweede analyse gaat over de (gemiddelde) kracht, die de lucht uitoefent op de raket bij afschieten. Deze kracht veroorzaakt een versnelling. De versnelling werkt op de raket, terwijl de raket nog op de buis van de lanceerinstallatie zit.

We kunnen het afschieten van de raket filmen met een highspeedcamera en de video inlezen in het programma Coach. In het programma kunnen we met het onderdeel videometen de snelheid van de raket bepalen. Dit is de daadwerkelijke lanceersnelheid van de raket. Het is leuk om de uitkomsten van analyse 1 en 2 te vergelijken met deze daadwerkelijke lanceersnelheid.

 Lanceer de raketten alleen onder toezicht van een volwassene. Houd rekening met je eigen veiligheid en die van een ander. De auteur of redactie van natuurkunde.nl kunnen geen enkele aansprakelijkheid voor de gevolgen van foutieve lancering aanvaarden.

Analyse 1. Adiabatische expansie

Bij natuurkunde heb je waarschijnlijk luchtdruk gehad en de wet van Boyle.

Deze wet beschrijft het feit, dat een afgesloten hoeveelheid gas in een groter volume een lagere druk heeft, zie formule 1.

 

1)

 

Omdat het expanderen in ons geval heel snel gaat kunnen we de wet van Boyle niet in deze vorm gebruiken. In de luchtdrukinstallatie expandeert het gas namelijk adiabatisch (zie bron 1) en daarom moeten we de wet van Boyle in een andere vorm schrijven, zie formule 2.  Voor adiabatische expansie van een tweeatomig gas (lucht: N₂ en O₂) geldt: γ = 1,4.

 

2)  

 

De lucht in de installatie expandeert eigenlijk twee keer. Om het gemakkelijker te maken doen we net of de lanceerinstallatie een rechte buis is, zie figuur 1.

Vóór het afschieten zit de lucht in gedeelte A (V_A). Als we de kogelkraan openen dan zit de lucht eventjes in gedeelte A en B (dat volume noemen we V_B), de lucht komt dan tot de raket, die over de buis geschoven is. V_B is het volume van de lucht, als de raket nog niet in beweging is gekomen. Nu gaat de raket versnellen over zijn eigen lengte h₀ (zie analyse 2)  en wanneer de raket de buis C net niet heeft verlaten zit alle lucht in gedeelte A, B en C (V_C), zie figuur 2. Vanwege het vergroten van het volume zal de druk dalen. Wij willen graag weten wat de druk in situatie B en C is. We weten de begindruk doordat we op de fietspomp de begindruk (p_A) hebben afgelezen. Deze p_A zal ongeveer 7,0 bar zijn.

 

  

 

Herschrijven formules

We kunnen formule 2 anders schrijven en verkrijgen dan formule 3, wetende dat het volume gelijk is aan oppervlakte van de buis maal lengte (dus V = A·l).

Met behulp van formule 3, kunnen we door lengten van de verschillende gedeelten (A,B,C) op te meten, berekenen wat de druk in de installatie is in deze situaties.  We kunnen met formule 3, de druk (p_B) na overgang van A-> B uitrekenen, maar natuurlijk ook de druk (p_C) na overgang van B-> C.

 

3) 

 

waarin:

• A de oppervlakte van doorsnede van de buis is, omdat de diameter overal gelijk is geldt: A_B = A_A
• l_A = lengte van de buis, ventiel tot het midden van de kogelkraan.
• l_B = lengte van de buis, ventiel tot uiteinde van de losse buis.
• l_C= lengte van de buis, ventiel tot raket die net buis verlaat. (l_B+h₀)

 

Toestand B en C in beeld: de raket direct na het openen van de kraan (B) en enige tijd later wanneer de raket de lanceerinstallatie verlaat (C).

In bron 1 kun je precies lezen hoe het p,V diagram van een adiabatische expansie eruit ziet. In bron 1 kun je ook lezen, dat de arbeid (W) die het gas verricht, de oppervlakte onder de p,V grafiek is. Dit geldt ook bij een adiabatische expansie. Om de oppervlakte onder een p,V grafiek te bepalen, moeten we formule 2 integreren van toestand B naar toestand C. We geven het resultaat van deze berekening in formule 4.

 

4)

 

 Doorrekenen voor de gebruikte installatie

Als we nu uitgaan van onze lanceerinstallatie, die gemaakt is van een verwarmingsbuis met een diameter van 22 mm[1] en een totale lengte van 2 m, op een druk van 7 bar, dan komen we uit op een arbeid in de orde van tientallen joules.

Deze arbeid stellen we gelijk aan de kinetische energie, die de raket heeft net na het verlaten van de lanceerinstallatie.

 

5)

 

 

Opdracht 1.

We pompen onze installatie (d = 22 mm) tot 7,2 bar op. (gegevens: l_A = 80 cm, l_B = 40 cm, l_C = 30 cm)

a. Bereken de druk in de toestanden B en C.

b. Bereken de arbeid, die het gas verricht op de raket.

c. Bereken welke snelheid een raket met m = 40 g krijgt.

 

De druk is uit te rekenen met de wet van Boyle voor adiabatische expansie, zoals weergegeven in formule 3. We nemen hierbij weer γ = 1,4 (twee-atomig gas).

Om te beginnen rekenen we het oppervlakte uit. We vinden

A = ¼·π·d² = 0,24.π.(22.10^-3)² = 7,6.10^-4 m²

 a. Dit invoeren in de fomrules met de waardes voor B en C geeft achtereenvolgens:

p_a·l_a^1,4 = p_b·l_b^1,4

Omdat formule 3 een verhoudingsformule is kunnen we de druk in bar invullen. We krijgen dan p_b = 7,2 · 0,80 ^1,4 /1,2 ^1,4 = 4,08 bar

Voor C vinden we op soortgelijke wijze 2,99 bar met lc = 1,5 m. Alles bij elkaar geeft dat het volgende overzicht:

b. Met formule 4 vinden we

dit geeft W_B->C = 79,3 J

c. Met formule 5 vinden we

Analyse 2. Versnellen door luchtdruk

De raket wordt versneld over de lengte van de drukkamer (h₀), zie figuur 3. Zodra de raket van de buis af is, valt deze versnelling logischerwijs weg. De zwaartekracht verwaarlozen we in de onderstaande berekening, aangezien deze in de orde van 0,30 N is ten opzichte van een F_lucht van rond de 100 N. Wrijvingskracht op de raket langs de buis is in de orde van 2 à 3 N. We weten dat een resulterende kracht zorgt voor versnelling, zie formule 6. In ons geval nemen we aan dat de resulterende kracht geheel voor rekening van de F_lucht komt en verwaarlozen we F_z en F_w. In de modelleeropdrachten kunnen we kijken in hoeverre deze vereenvoudigingen onze analyse beïnvloedt.

 

 6)  

 

Deze twee uitdrukkingen combineren geeft: 

 

7)

 

Voor de tijd van versnellen geldt, (uit h₀ = ½·a·t²):

 

8)

 

Waarin:

 h₀  de hoogte van de raket is. (A4 papier = 30 cm)

 

Om de lanceersnelheid van de raket te bepalen, gebruiken we (v_begin = 0):

 

9)

 

10)

 

Invullen van ‘a’ (formule 7) en vereenvoudigen geeft:

 

11)

 

 

Zowel een grotere lengte als een grotere diameter leveren een grotere beginsnelheid op. We kunnen in de modellen in Coach simulaties doen om te kijken wat de invloed van aanpassingen van d, h₀, m en hogere druk zijn.

Een heel grove schatting van de beginsnelheid van de raket kun je ook uit formule 12 verkrijgen. Je moet dan de afstand (x in m) opmeten, die je raket in horizontale richting afgelegd heeft en die combineren met de hoek waaronder je de raket hebt afgeschoten. Je verwaarloost dan wel de luchtwrijving tijdens de vlucht.

 

12)

 

waarin:

• x  = horizontale afstand (m) van de raket, vanaf lanceerinstallatie.
• v₀ = Lanceersnelheid in (m/s)
• α = Lanceerhoek in graden.
• g = gravitatie versnelling, 9,81 m/s²

 

Opdracht 2.

a. Bereken voor een luchtdrukinstallatie, de lanceersnelheid van een raket met m = 40 g.

(gegevens: d = 22 mm, p_gem = 4,2 bar en lengte van de drukkamer is 30 cm.)

 

b. Wat wordt de snelheid van een raket als we besluiten de drukkamer 2 x zo lang maken? Geef de berekening.

 

Sjoerd besluit een andere luchtdrukinstallatie te maken van een verwarmingsbuis met Ø 28 mm. De raket heeft dezelfde massa en lengte als bij vraag 2b.

c. Wat wordt nu de nieuwe snelheid van de raket? Geef de berekening.

 

 Dit kunnen  we narekenen met formule 11.

a.

b.

c.

 

Analyse 3. Videometing analyseren met Coach

 

Het afschieten van de luchtdrukraket wordt gefilmd met een highspeed camera en de video wordt ingelezen in Coach. Wij hebben voor het filmen een framerate van 240 Hz gebruikt. In Coach kan dan met behulp van videometen de lanceersnelheid bepaald worden.

Als je de analyse gaat doen moet je bij de instelling ook de tijdsinstelling op 240 beeldjes per seconde zetten. We zijn geïnteresseerd in de beginsnelheid langs de as van beweging. Hiertoe kan in Coach het assenstelsel gekanteld worden (zie figuur 4)  en zo kan de snelheid van de raket in de bewegingsrichting bepaald worden. Uit het filmpje kan ook de hoek van afschieten bepaald worden.

Het is lastig om de hele vlucht van de raket door te meten, omdat de raket zo ver komt. Als we filmen met een hoge framerate, kan de camera slechts een beperkt segment van de baan filmen. Als je de hele vlucht wilt videometen, gebruik dan een gewone videocamera.

Je kunt de raket voor een aantal beeldjes uitmeten en de plaats, tijd grafiek tekenen. Daarna kun je door op je rechtermuisknop te klikken, kiezen voor ‘analyse’ en dan helling.

Klik in het nieuwe venster op je grafiek en bepaal met de pijltjes toetsen de raaklijn, die het beste langs de plaats, tijd grafiek ligt. Je kunt de helling van de raaklijn dan aflezen. Deze helling is de lanceersnelheid van de raket (v_eind).

 

Bronnen:

Zuigermotoren op natuurkunde.nl

 

[1] In de praktijk gaat het om de de binnendiameter van de buis. Die is te bepalen met een schuifmaat. Deze waarde is lager dan 22 mm. (+/- 20 mm)