Muziek en natuurkunde hebben veel meer raakvlakken dan je op het eerste gezicht zou denken. In een serie artikelen op www.natuurkunde.nl worden deze raakvlakken besproken en zie je hoe musici in de praktijk gebruik maken van natuurkundige theorieeen. De verschillende basisbegrippen die telkens terugkomen bij de muziek, worden in drie verschillende uitleg-artikelen besproken. Het gaat daarbij om zwevingen, boventonen en fourieranalyse. In dit artikel vind je uitleg over het verschijnsel boventonen.
We beginnen met enkele basisbegrippen, vervolgens worden deze begrippen wat verder toegelicht.
- Elke willekeurige toon kan worden opgebouwd uit verschillende sinusvormige signalen. We noemen deze willekeurige toon in dit artikel daarom een 'samengestelde toon'
- Elke benodigde sinus heeft een andere frequentie, sommige zijn hoog andere weer laag. De laagste benodigde frequentie is de grondtoon, elk andere frequentie is een boventoon.
- De frequentie van de grondtoon is gelijk aan de frequentie van de samengestelde toon.
- De aard van het instrument bepaalt welke boventonen er mogelijk zijn.
- Combinatie van grondtoon en boventonen bepalen tezamen de vorm van de samengestelde toon (en daarmee de klank van het instrument).
- Bij analyseren van een samengestelde toon wordt berekend welke grondtoon en welke boventonen in het signaal zitten. Een veel gebruikte analysemethode is fourieranalyse.
Samengestelde tonen
Met het programma Coach hebben we een aantal golfvormen gemaakt. Hierbij tekent het programma verschillende sinussen voor ons en geeft het ook de optelsom van deze sinussen. De frequenties van de verschillende sinussen zijn steeds een veelvoud van de grondfrequentie. In onderstaand filmpje zie je hoe hiermee allerlei golfvormen gemaakt kunnen worden. De som van de sinussen (onze samengestelde toon) staat in groot scherm links weergegeven, in de middenrij kun je op de kleine schermpjes zien welke sinussen de basis vormen van de samengestelde toon.
In dit filmpje zie je hoe allerlei golfvormen ontstaan door het samenstellen van sinusvormige signalen.
Toelichting bij een golfvorm uit bovenstaand filmpje
Je ziet hier de afbeelding uit het filmpje zoals dat te zien is rond het tijdstip t = 10 s. In de middenrij zie je vier grafiekjes onder elkaar (rood, blauw, groen en zwart gekleurd). De bovenste grafiek heeft de laagste frequentie, dit is dus de grondtoon. Je ziet drie trillingen weergegeven. De twee grafieken daaronder zijn erg makkelijk, de amplitude daarvan is nul. Je ziet dus alleen maar rechte lijnen. In de onderste grafiek tellen we twaalf trillingen. Deze grafiek heeft dus een vier keer zo hoge frequentie als de bovenste.
Wanneer we nu naar de samengestelde toon kijken, zien we dat we hier ook drie trillingen hebben, net als de grontoon. Dit komt overeen met wat we in het begin van dit artikel kunnen lezen:
- De frequentie van de grondtoon is gelijk aan de frequentie van de samengestelde toon.
Als we nu naar de samengestelde toon kijken, zien we dat er over de grondtoon van 30 Hz een bibber loopt, dat is precies de boventoon van 120 Hz. Dit is ook iets dat we eerder in dit artikel genoemd hebben:
- Combinatie van grondtoon en boventonen bepalen tezamen de vorm van de samengestelde toon.
Lees verder in het artikel of open onderstaand stukje tekst met daarin een tweede voorbeeld.
Klik hier voor een tweede voorbeeld met toelichting
Een tweede voorbeeld van de samengestelde toon.
Dit is het voorbeeld dat je in het filmpje ziet op het tijdstip t = 35 s. We zien hier err de frequentie van 30 HZ terug in de samengestelde toon. Dit is ook weer de frequentie van de grondtoon. Net als in het eerste voorbeeld zit er weer een bibber over de toon van 30 Hz heen geplakt. In de middenrij zien we dat de samengestelde toon moet bestaan uit de grondtoon en boventonen van 60 Hz en 120 Hz. In detail is dat met het oog niet te zien maar je ziet wel dat de samengestelde meer variatie heeft dan die van het eerste voorbeeld. Voor uitgebreide analyse van samengestelde tonen wordt fourieranalyse gebruikt.
Boventonen bij snaarinstrumenten
Zoals eerder genoemd bepaalt de aard van het instrument welke boventonen mogelijk zijn. Voor een snaarinstrument is elke boventoon een veelvoud van de grondtoon. Als je een grontoon hebt met een frequentie f0 dan vind je boventonen met frequenties 2f0 ; 3f0 ; 4f0 ; enzovoort.
Bij elk snaarinstrument (gitaar, viool, cello, contrabas, etc.) hebben we te maken met een snaar die aan twee kanten is ingeklemd. Daar waar de snaar is ingeklemd zit uiteraard een knoop. De laagste toon die een snaar kan voortbrengen is de toon waarbij de snaar een halve golflengte is.
Enkele boventonen op een snaarinstrument (bron wikipedia)
In bovenstaande figuur wordt schematisch weergegeven hoe je boventonen kunt spelen. In het bovenste plaatje trilt de snaar in de laagst mogelijke frequentie. De lengte van de snaar komt overeen met een halve golflengte. In het plaatje daaronder (2) wordt de snaar halverwege zijn volle lengte tegen de toets gedrukt. Alleen het onderste gedeelte kan nog trillen, er blijft eigenlijkk een snaar met de halve lengte van het origineel over. Bij trillen krijgt deze halve snaar de dubbele frequentie, de toon klinkt een octaaf hoger.
In plaatje 3 zien we voor het eerst een boventoon weergegeven. de snaar wordt niet tegen de toets gedrukt maar kan op de plek halverwege niet goed meer trillen. Hier komt dus een knoop, de lengte van de snaar komt overeen met een volledige golflengte. Er klinkt een toon van 220 Hz, een octaaf hoger dan de grondtoon.
Op dezelfde wijze kunnen andere boventonen gegenereerd worden. Telkens wanneer de vinger de snaar verdeelt in een geheel aantal even grote delen, gaat er bij aanslaan of aanstrijken een boventoon klinken. Je kunt je vinger dan houden op elke plek waar een knoop zit. De snaar in afbeelding 5 kun je dus voor hetzelfde geld afdempen ter hoogte van de andere knoop.
Terug naar de hele snaar
We zien dus dat een snaar op vele manieren kan trillen. Als de snaar de lengte L heeft, dan kan deze snaar trillen met golflengtes waarvoor geldt:
- L = 1/2 λ
- L = λ
- L = 3/2 λ
- L = 2 λ
- L = 5/2 λ
Wanneer je niets met de snaar doet, trillen ook alle boventonen in bepaalde mate mee. We horen dus niet één enkele toon maar een heleboel tonen tegelijk. Daarom hoor je bij een trillende snaar over het algemeen een behoorlijk rijke klank. Welke tonen er mee klinken en in welke mate dat precies is, hangt van tal van factoren af. Denk bijvoorbeeld aan stugheid van de snaar, bouw van het instrument, plek waar de snaar wordt aangestreken (of getokkeld). Het valt buiten het kader van dit artikel om daar verder op in te gaan maar misschien is het een geschikt onderwerp voor je PWS.
