In het project "Natuurkundig Modelleren" hebben we de beweging van verschillende soorten deeltjes bekeken, bijvoorbeeld de baan van planeten om de zon (link naar de lesbrief planeten). Een belangrijke overeenkomst tussen beide systemen is dat de beweging van de deeltjes wordt gemodelleerd met behulp van de 2e wet van Newton (link naar Kracht, impuls en energie bij botsingen ). Daarom zouden we de beweging van beide systemen met hetzelfde computerprogramma kunnen uitrekenen. Er kunnen bij numerieke modellen echter onverwachte uitkomsten genoteerd worden.
Hoe ontstaan in een computer afwijkingen?
Wanneer we de groottes van bijvoorbeeld massa met elkaar vergelijken, zien we dat de massa van een planeet veel groter is dan de massa van een molecuul.
Om een idee te krijgen van de verschillende massa’s:
• massa aarde = 6 * 1024 kg
• massa methaan-molecuul CH4) = 16 * 1.66 * 10-27 = 2.66 * 10-26 kg
In de praktijk werkt een computer minder nauwkeurig met hele kleine of hele grote getallen. Met name wanneer twee kleine getallen ongeveer even groot zijn en van elkaar afgetrokken moeten worden, is de relatieve nauwkeurigheid van het resultaat minder goed. Om te begrijpen waarom dit zo is, moeten we meer weten over het volgende. Hoe slaat een computer een floating point getal (bijvoorbeeld 3.141592 ... ) op in een binair getal, dus alleen maar enen en nullen? (Dit valt buiten het thema "Natuurkundig Modelleren".) Ook kunnen we door te rekenen met hele grote getallen een underflow of overflow krijgen.
Voorbeelden van flowafwijkingen:
1.0 * 10-500 is voor een computer precies gelijk aan nul en 1.0 * 10500 ziet een computer als oneindig.
Een andere belangrijke reden om hele kleine of hele grote getallen te vermijden is het opsporen van fouten in computerprogramma's. Als alle grootheden (bijvoorbeeld, massa, snelheid, tijd, positie) rond het getal 1 liggen, dan zal een uitkomst van -16.8 ook nog wel kunnen kloppen. Is het resultaat van een berekening dan 24 * 1018 dan is de kans groot dat er ergens een fout in het computerprogramma zit.
Gereduceerde eenheden
Een manier om te zorgen dat grootheden rond de 1 liggen is het gebruiken van gereduceerde grootheden. Als voorbeeld nemen we de aarde die om de zon draait.
De massa van de aarde in SI eenheden is
m0 = 5.976 * 1024 kg, een heel erg groot getal.
Dit nemen we dan als nieuwe eenheid van massa, dus de gereduceerde massa van de aarde is dan:
Gereduceerde massa:
m* = m0/m0 = 1
De massa van de zon is m = 1.96 * 1030kg.
In gereduceerde eenheden is dit dus:
m* = 1.96 * 1030 / 5.976 * 1024 = 328900.
Dit is niet helemaal orde grootte 1 maar het ligt wel een stuk dichter bij 1 dan 1.96 * 1030. Op precies dezelfde manier kunnen we als eenheid van afstand, de afstand tussen de zon en de aarde, kiezen:
|
Een numeriek model dat een aantal bewegingen bestudeert die direct te maken hebben met gevolgen van de zwaartekracht op twee lichamen. Dit numerieke model maakt gebruik van gereduceerde eenheden. |
Gereduceerde afstand:
r0 = 1.496 * 1011 m
Als we de nieuwe eenheden van massa, afstand en tijd kiezen, ligt de nieuwe eenheid van kracht, Newton, natuurlijk vast omdat kracht gelijk is aan: 1N = 1kgms-2 .
Opgave
De gravitatieconstante is: G = 6.67 * 10-11Nm2kg-2.
Leg uit dat 1Nm2kg-2 = 1Nm3kg-1s-2
Bereken hiermee G in gereduceerde eenheden. Laat zien dat het product van Gen de massa van de zon in gereduceerde eenheden tussen de 10 en de 100 ligt.
Lennard-Jones potentiaal
Voor systemen waarbij de deeltjes moleculen zijn, is het ook handig om gereduceerde eenheden te gebruiken. Bijvoorbeeld, twee moleculen hebben een interactie met elkaar volgens een Lennard-Jones potentiaal (link naar de bijles over de Lennard Jones potentiaal).
waarin r de afstand tussen de deeltjes is, u de interactie energie, en Є en σ modelparameters. Hierin zijn de eenheid van Є en σ natuurlijk respectievelijk Joule en meter. Een natuurlijke, maar niet unieke keuze van onze gereduceerde eenheden is dan:
| Grootheid | Gereduceerde grootheid | Opmerkingen |
|---|---|---|
| lengte | σ | |
| energie | Є | |
| massa | m | Dat is 1/12 deel van de massa van een koolstofatoom, dit is 1,66 10-27 kg. |
| temperatuur | Є / kb | Waarin kb de Boltzmann constante is (eenheid joule / Kelvin). |
Opgave
Ga nu zelf na dat de gereduceerde tijd gelijk is aan...
...en de gereduceerde druk gelijk is aan...
Eigenschappen van echte stoffen
Niet alleen is een groot voordeel dat alle gereduceerde grootheden nu in de buurt van het getal 1 liggen, maar ook dat bijvoorbeeld het kookpunt of fasediagram volledig bepaald wordt door gereduceerde grootheden.
• Voor Argon geldt: Є/kb = 120 K en σ = 3.41 * 10-10 m.
• Voor Krypton geldt: Є/kb = 164.0 K en σ = 3.83 * 10-10
We kunnen nu bijvoorbeeld voor een bepaalde gereduceerde temperatuur en gereduceerde dichtheid de gereduceerde druk uitrekenen. Dan kunnen we voor zowel Argon als Krypton (en voor alle andere systemen waarvoor we de Lennard-Jones parameters kennen) bij een bepaalde echte temperatuur en echte dichtheid de echte druk uitrekenen. Daarbij wordt de echte simulatie in gereduceerde eenheden uitgevoerd en het eindresultaat wordt terugvertaald naar echte eenheden.
Aardappels koken. Aardappels koken boven de 500 °C is een sprookje, zelfs in een hogedrukpan. Ook bij de aardolie-industrie loopt men tegen grenzen aan als de temperatuur te hoog is. Alkanen vallen namelijk uit elkaar voordat de kritieke temperatuur bereikt is. Terwijl je juist met dat karakteristieke gegeven veel kan zeggen over de samenstelling van het mengsel. Numeriek modelleren biedt hier uitkomst ( link naar de het artikel Kritische eigenschappen van alkanen).
Opgave
Zal deze echte temperatuur en echte dichtheid voor Argon en Krypton hetzelfde zijn ?
Toy Modellen
Als laatste noemen we het gebruik van gereduceerde eenheden zogenaamde toymodellen. Bij deze "speelgoed" modellen proberen we niet een echt, bestaand systeem exact te modelleren. We modelleren een generiek model zonder echte eenheden dat toch de karakteristieke eigenschappen bevat van het echte systeem. Meestal kunnen we het toymodel wel zo kiezen dat de generieke uitkomsten ook voor het "echte" systeem gelden. Vanzelfsprekend zijn we dan vrij om alle eenheden zelf te kiezen. Dus kiezen we alle eenheden zodanig dat alle uitkomsten in de buurt van het getal 1 liggen. Een mooi voorbeeld hiervan is de applet “waskracht”, waarbij je zelf een wasmiddelmolecuul kunt bouwen en de waswerking ervan kunt testen. Een ander voorbeeld is te vinden in de geneeskunde.
Numerieke cellen. Ook bij het volgende onderzoek wordt gebruik gemaakt van gereduceerde eenheden in numerieke modellen. De cel is de belangrijkste eenheid in de biologie. Binnen in de cel vinden namelijk allerlei processen plaats die van levensbelang zijn. Elke cel wordt begrensd door een wand, het zogenaamde celmembraan. Door het toevoegen van verdovende medicijnen verandert het celmembraan. Over de oorzaken en gevolgen van deze verandering kun je meer lezen in Hoe werken anesthetica ?
