Liftkracht en Wrijvingskracht
Aerodynamica is een ingewikkelde tak van de stromingsleer. Maar als je afziet van alle moeilijke details zijn de hoofdzaken toch goed te begrijpen.
Hoe vliegt een vliegtuig? Een vliegtuig blijft in de lucht als de liftkracht op de vleugels even groot is als de zwaartekracht op het vliegtuig. Alleen dan kan het vliegtuig horizontaal blijven vliegen. De vorm van de vleugel speelt hierbij een belangrijke rol. De ontwerpers van vliegtuigen proberen deze vorm zo te ontwerpen dat de vleugel een zo groot mogelijke liftkracht genereert, zodat het vliegtuig ook bij “lage” snelheden bij het opstijgen en landen niet uit de lucht valt.
Naast deze verticale krachten ondervindt de vliegtuigvleugel ook weerstand. Die veroorzaakt een wrijvingskracht naar achteren. Deze wrijvingskracht wil je het liefst zo klein mogelijk hebben. Daarom is de vorm van de vleugels ook zo ontworpen dat de vleugels zo min mogelijk luchtwrijving hebben wanneer het vliegtuig hoog in de lucht met constante snelheid en op constante hoogte vliegt.
De vleugels houden het vliegtuig door de liftkracht in de lucht. Hoe komt het nu dat er een liftkracht ontstaat bij de vleugels? Daarvoor is het goed om eens wat beter te kijken naar wat er met luchtdeeltjes gebeurt die om de vleugel heen stromen. De simulatie in figuur 2 laat dit zien.
Als een vliegtuigvleugel oneindig dun was geweest en helemaal horizontaal, dan zou de lucht vrijwel ongehinderd langs de boven- en onderkant van de vleugel stromen. Er zou dan geen liftkracht zijn. Maar bij een vliegtuigvleugel is dat niet zo, de luchtstroming wordt hier wel degelijk beïnvloed zoals je ziet in figuur 2. De vorm van de vliegtuigvleugel is namelijk zo ontworpen dat deze de lucht die langs de vleugel stroomt naar beneden duwt. In de simulatie zie je dat de lucht onder de vleugel inderdaad naar beneden afbuigt. Er werkt dus een naar beneden gerichte kracht op de lucht. Volgens de derde wet van Newton (actie = - reactie) resulteert dit in een even grote, naar boven gerichte kracht op de vliegtuigvleugel. Deze kracht – de liftkracht – houdt het vliegtuig in de lucht.
Wat je ook ziet in de simulatie is dat de luchtdeeltjes aan de onderkant van de vleugel dichter op elkaar zitten dan aan de bovenkant. Dat komt omdat de lucht door de vorm van de vleugel aan de onderkant langzamer langs de vleugel stroomt dan aan de bovenkant. Hier zie je precies wat de wet van Bernoulli beschrijft. Deze wet geeft aan dat waar lucht een lage snelheid heeft, de druk hoger is. In dit geval is de luchtsnelheid onder de vleugel lager dan boven de vleugel, waardoor de druk onder de vleugel hoger is dan hierboven. Ook zo zie je dat er een liftkracht omhoog werkt op de vliegtuigvleugel.
De grootte van de liftkracht is gegeven door de formule:
In deze formule is A het vleugeloppervlak, v de snelheid van het vliegtuig ten opzichte van de lucht, ρ de dichtheid van de lucht en de dimensieloze constante cL heet de liftcoëfficiënt. De formule is eenvoudig, maar alle problemen van de aërodynamica zitten verstopt in de cL. De exacte waarde van cL hangt van allerlei details van de stroming van de lucht om de vleugels en de romp af. Details waar de specialisten in de vliegtuigbouw zich mee bezig houden. Behalve Liftkracht krijgt de vleugel ook een wrijvingskracht die door de volgende formule is te berekenen:
De betekenis van de letters is dezelfde als in de formule voor de liftkracht. cD is de weerstandscoëfficiënt (de D is van het Engelse woord ‘drag’). Met windtunnelproeven en soms bij benadering door theoretische berekening kan men cL en cD bepalen.
De coëfficiënten zijn sterk afhankelijk van de zgn ‘angle of attack’ een soort invalshoek: de hoek tussen de koorde van de vleugel en de stroomrichting van de lucht.
In de figuur hiernaast is cL en cD gegeven als functie van de angle of attack. Tussen 0o en 15o neemt cL flink toe, terwijl cD ongeveer gelijk blijft. Maar boven 15o daalt de liftcoëfficiënt sterk, terwijl de weerstand enorm toeneemt. Dit heet overtrek (stall in het Engels). De stroming van de lucht kan de vleugel niet meer helemaal volgen en aan de bovenkant ontstaan wervels. Overtrek is voor het vliegtuig een gevaarlijke situatie: de vleugel verliest een flink stuk van de liftkracht en krijgt veel weerstand. Als het vliegtuig laag vliegt, zou het bij overtrek kunnen neerstorten.
Volgens de grafiek is ongeveer 10o een veilige angle of attack: er is voldoende liftkracht en het gevaar van overtrek is niet zo groot.
De verhouding cL/cD is bepalend voor de aërodynamische kwaliteit. Zij geeft ruwweg hoeveel draagkracht de vleugel heeft voor één newton weerstandskracht. Voor een zilvermeeuw is die kwaliteitsfactor ongeveer 12, voor een Boeing747 16 en voor een albatros 20. Een gangbaar zweefvliegtuig en een super-ultralight zouden misschien 45 en 60 kunnen halen.
Opschalen van een zilvermeeuw
Als een vogel/vliegtuig/vliegfiets horizontaal vliegt moet de lifkracht gelijk zijn aan de zwaartekracht, dus
Met behulp van deze formule kunnen we nagaan wat er gebeurt als we een zilvermeeuw met een massa van 1 kg opschalen tot een beest van 100 kg In de formule voor de liftkracht zijn alleen v en A variabel. Dus als m 100 keer zo groot wordt moet het product v2 * A ook 100 keer zo groot worden. Als de massa 100 keer zo groot wordt, zal het volume ook 100 keer zo groot worden, want de dichtheid van de vogel zal wel niet echt veranderen. Dat betekent dat lengte, breedte en hoogte elk 3√100 = 4,6 keer zo groot worden. Het vleugeloppervlak Awordt dan 4,62 = 21,5 keer zo groot. En v2 moet dan 100/21,5 = 4,6 keer zo groot worden dus v wordt = 2,15 keer zo groot.
Maken we de massa 100 keer zo groot, dan wordt
de spanwijdte 4,6 keer zo groot
de vleugeloppervlakte 21,5 keer zo groot.
En de snelheid moet 2,15 keer zo groot worden.
We passen dit toe op de zilvermeeuw. De zilvermeeuw heeft een massa van 1 kg en een spanwijdte van 1,4 meter, een vleugeloppervlakte van 0,2 m2 en een kruissnelheid van 12 m/s. Een 100 keer zo zware meeuw krijgt een spanwijdte van 4,6*1,4 = 6,5 meter en een vleugeloppervlakte van 21,5*0,2 = 4,3 m2 en de kruissnelheid moet dan 2,15*12 = 26 m/s =93 km/h worden. Als de aërodynamische kwaliteit gelijk gebleven is, dan is er bij de zilvermeeuw één newton weerstand voor elke 12 newton draagkracht. Dus een meeuw met ca 1000 N zwaartekracht krijgt 1000/12 = 83 N weerstand. Zijn nuttig vermogen is dan: F*v = 83 * 26 = 2,2.103 W = 2,2 kW. Dit is noch door een mens noch door een vogel op te brengen. Het blijkt dat de knobbelzwaan (ca 10 kg, nuttig vermogen 200 W) ongeveer de zwaarste vogel is die normaal kan vliegen.
De Gossamer Condor
Paul McCready en zijn team begonnen het ontwerp van hun vliegtuig aan de andere kant. Het nuttig vermogen kon niet hoger worden dan 250 W. Zij gingen ervan uit dat vliegfiets + piloot niet méér mochten wegen dan 100 kg, dus het vliegtuig zelf mocht niet veel meer dan ca 30 kg wegen. Bij een aërodynamische kwaliteit van 20 (20 N draagkracht op een N weerstand) is de weerstandskracht dus 1000 N : 20 = 50 N. De stuwkracht van de propeller moet dus ook 50 N worden om met constante snelheid te kunnen vliegen. P = F*vdus 250 = 50*v, v = 5 m/s = 18 km/h. Het vliegtuig krijgt dus ongeveer de snelheid van een fiets.
Dan moet uiteraard blijven gelden dat:
Vullen we de getallen in dan krijgen we:
En cL*A = 65 m2. Als cL ongeveer 1 is, is er een vleugeloppervlakte van ongeveer 65 m2.
Een Boeing 747-400
Een jumbojet heeft een gemiddelde massa van 320 ton (kan variëren, afhankelijk van de verbruikte brandstof). Zijn kruissnelheid op zo’n 10 km hoogte is ca 900 km/h = 250 m/s De dichtheid van de lucht is daar ongeveer 0,33 kg/m3 Invullen in de formule levert op:
cL*1/2*0,33*2502*A=320.103*9,8
En cL*A=3,0.102m2 De vleugeloppervlakte is in werkelijkheid 540 m2 dus de cL tijdens de vlucht is 0,56. De aërodynamische kwaliteit is 16 dus er is een weerstand van 320.103*9,81/16 = 1,96.105 N = 196 kN. Bij constante snelheid moet de motorkracht dus ook 196 kN zijn. Het nuttig motorvermogen moet dan zijn: P = Fmotor * v = 1,96.105*250 = 4,9.107 W = 49 MW Het rendement van de motoren van de B747 is ongeveer 50% (voor verbrandingsmotoren buitengewoon hoog!) We kunnen nu uitrekenen hoeveel brandstof nodig is voor een bepaalde vlucht. Voor een vlucht van Amsterdam naar Tokyo (9500 km) heb je 1,96.105 * 9,5.106 = 1,85.1012 J nuttige arbeid nodig. Bij een rendement van 50% heb je 3,72.1012 J chemische energie nodig, Een kg brandstof (kerosine) levert 42 MJ, dus je verstookt 3,72.1012/4,2.107 = 8,87.104 kg brandstof = 89 ton brandstof tijdens de kruisvlucht. Dit is overigens met de afdaling het zuinigste deel van de vlucht. Bij laag vliegen en klimmen en taxiën is het brandstofverbruik per uur aanzienlijk hoger.
