De geboorte van de moderne fysica: Al een tijdje terug, om precies te zijn in het jaar 1925, deed Werner Heisenberg een revolutionaire ontdekking. Werner probeerde te verklaren waarom het spectrum (zie intermezzo) van het waterstofatoom een aantal scherpe lijnen vertoont. Terwijl hij aan het rekenen en rekenen was ontdekte hij een nieuwe theorie, die nu bekend staat als de quantummechanica. De quantummechanica beschrijft het reilen en zeilen van hele kleine objecten (in de orde van 10-15m). Deze kleine deeltjes hebben allerlei vreemde eigenschappen. Daar komt nog bij dat ze van zichzelf nogal "onzeker'' zijn...
Bewegende electronen; een praatje bij een plaatje
Heisenberg nam het volgende experiment in gedachten: stel je voor dat je een goede microscoop hebt waarmee je kleine deeltjes kan zien, zoals electronen 1. Met een microscoop vang je lichtdeeltjes (fotonen) op die net weerkaatst zijn van het voorwerp dat je bestudeert. Een electron is zo licht dat het weerkaatsen van een lichtdeeltje er voor zal zorgen dat het electron uit zijn baan slaat. Nu is er ook wat met de microscoop aan de hand. Elke microscoop heeft namelijk een eindige resolutie. Als je iets waarneemt onder de microscoop bevindt het waargenomene zich in een gebiedje ± x m. Net als met een meetlat kun je dus niet oneindig nauwkeurig meten met een microscoop. De hoogste resolutie van de microscoop wordt bepaald door de golflengte van het gebruikte licht.
Na de botsing heeft het foton impuls overgedragen aan het electron. De grootte van deze impuls is ongeveer gelijk aan de impuls van het foton...
mfotonv = mfotonc
... want fotonen reizen met de lichtsnelheid.
Nu zijn fotonen eigenlijk massaloos, maar volgens Einstein:
E = mc2, dus mfoton = E/c2 en dus pfoton = E/c
We weten dat (zie ook intermezzo)...
E = hf = hc / λ
En dus is de overgedragen impuls:
Δp ≈ h / λ
We weten dat de onnauwkeurigheid van de microscoop minimaal de golflengte is van het gebruikte licht, dus de onnauwkeurigheid in de positie...
Δx ≈ λ
En voila, als we de uitdrukkingen voor de onnauwkeurigheden met elkaar vermenigvuldigen:
Δx Δpx ≈ λh / λ →Δx / Δpx ≈ h
Een verbazingwekkende conclusie, met wat houtjes-touwtjes natuurkunde hebben we kunnen afleiden dat de meetonzekerheid in de positie ongeveer gelijk is aan een constante gedeeld door de onnauwkeurigheid in de impuls.
En nu Heisenberg
Werner ontwikkelde een manier om te bewijzen dat zo`n soort relatie tussen x en p voor alle situaties geldt, zie ook [REF.2]. Zijn aanpak is heel wat rigoreuzer dan de onze, en hij leidde de volgende formule af:
Maar wat betekent dit nu?
De onzekerheidsrelatie vertelt ons dat als je de plaats van een deeltje heel nauwkeurig wilt bepalen dan kun je niet tegelijkertijd de impuls nauwkeurig meten. En omgekeerd. Wat is nu de betekenis van dit alles vertaald naar iets herkenbaars? Hoe komt het dan je "normaal'' (in de grote wereld) niks van dit verschijnsel merkt? Laten we onder andere eens gaan rekenen aan een kubusje met massa 1 kg en lengte van de ribben 10 cm.
Een rekenvoorbeeldje
Je doet een experiment waarbij je de impuls van een deeltje (een heliumkern bijvoorbeeld) kunt bepalen met als onzekerheid...
Δpx = 10-34 kg•m/s
... (dat is ongeloofelijk nauwkeurig).
Vullen we dit in de ongelijkheid van Heisenberg:
Δx • 10-34 = 1.05 • 10-34 / 2 Δx = 0.55 m
Het deeltje kan wel overal zijn!
Maar nu denk je vast, wat nu als we nog een keer gaan meten. Maar nu niet heel nauwkeurig de impuls, maar de positie. Helaas gaat deze vlieger niet op. Als je de positie met een onzekerheid...
Δx = 10-34m
... bepaalt, verdwijnt de oorspronkelijke informatie over de impuls. Deze is nu heel erg onzeker geworden:
Δpx = 0.55 kg•m/s
Het deeltje lijkt wel een eigen wil te hebben, en zorgt er altijd voor dat een van de twee variabelen...
x en px
... niet nauwkeurig bekend zijn. We zullen het dus moeten doen met een benadering.
Hoe komt het dan je "normaal'' (in de grote wereld) niks van dit verschijnsel merkt? Laten we eens gaan rekenen aan een kubusje met massa 1 kg en lengte van de ribben 10 cm. Met een eenvoudige meetlat kun je ongeveer op 2mm nauwkeurig meten, dus:
Δx = 0.002m
Met behulp van de onzekerheidsrelatie:
Δpx = 0.55 • 10-32 kg•m/s
Omdat de massa 1 kg is, geldt dan dat:
Δvx = 0.55 • 10-32 m/s
Als je de snelheid meet met behulp van een stopwatch zal de onzekerheid ongeveer een twintigste van de werkelijke snelheid zijn. Beweegt de kubus met 10m/s (36 km/h) dan...
Δvx ≈ 0.5 ~ 0.55 • 10-32 m/s
Kortom, je meetlat en stopwatch zijn van zichzelf al veel te onnauwkeurig om ook maar iets van de onzekerheidsrelatie te merken.
Wat fysici er nu van denken:
Als het bovenstaande je erg vreemd overkomt kun je gerust zijn; de ontdekkers van de quantummechanica begrepen er in het begin zelf ook geen iota van. Alle grote namen die zich bezig hielden met de voor hun nieuwe theorie gaven er een eigen interpretatie aan, wat zich ontpopte in ellenlange debatten en briefwisselingen.
Het indeterministische (het niet kunnen bepalen van de positie en de impuls op hetzelfde moment) karakter van de quantummechanica heeft zelfs Einstein uit zijn slaap gehouden, vandaar ook zijn beroemde quote: 'God does not play dice'. Ook voor hedendaagse fysici is het nog onduidelijk of de ongelijkheid van Heisenberg wel of niet klopt. Maar daarvoor verwijs ik je graag naar het werk van J. S. Bell [REF. 1].
Gelukkig werkt de quantummechanica wel. Dus zonder je af te vragen naar het hoe en waarom kun je in de praktijk nog aardig uit de voeten met deze wonderbaarlijke theorie.
Intermezzo over het spectrum van waterstof
De balk waar H voor staat is het waterstofspectrum. Het ziet er nogal sober uit, een zwart vlak met wat gekleurde streepjes. Boven de balk staat een schaalverdeling in golflengtes (grootheidλ, eenheid nm = 10-9m).
Het spectrum vertelt ons nu wat de golflengte is van een lichtdeeltje, het foton, dat het waterstofatoom kan absorberen of uitzenden. Dat wordt voorgesteld door een gekleurd lijntje. En zoals je misschien al weet is de golflengte van een foton afhankelijk van zijn energie2. Het lijkt dus alsof het waterstofatoom verschillende energieniveaus heeft en dat het atoom van het ene niveau naar het andere kan gaan door een foton met scherp bepaalde energie op te nemen of uit te zenden.
Een hele vreemde situatie! Vergelijk het waterstofatoom nu eens met een bal, en je voet met een inkomend foton. In de "normale'' (hele grote) wereld weet je dat als je hard trapt de bal flink vooruitschiet. Je voegt dus veel energie toe aan de bal. Een zacht schopje laat de bal slechts langzaam vooruitrollen, de energie die je in de bal stopt is niet zo groot in dit geval. Stel nu dat de bal zich gedraagt als het waterstofatoom. Dan kan het zijn dat de energie van een harde schop niet past bij wat het atoom kan ontvangen, en er gebeurt helemaal niets! En een zachte trap heeft misschien precies de juiste energie, waardoor de bal dan wel gaat bewegen.
De fysici die voor het eerst met dit verschijnsel te maken kregen werden gedwongen aan te nemen dat in tegenstelling tot in de alledaagse wereld atomen "gequantiseerde'' (discrete) energieniveaus hebben. Dit verklaart ook meteen de naam van de theorie.
Referenties
Hieronder, enkele referenties naar leuke populair wetenschappelijke boekjes waarin de basis van de QM wordt besproken:
1. George Gamow, "Mr Tompkins in paperback", Cambridge university press, ISBN: 0 521 44771 2
2. B.H. Bransden en C.J. Joachain, "Quantum Mechanics, 2nd edition", Pearson, ISBN: 0582 35691 1
3. Bell's inequality
Footnotes:
1: Waarom electronen? Electronen hebben dan wel geen grootte, maar hun invloed is merkbaar op lengteschalen in de orde van 10-15m, dus het zijn quantummechanische deeltjes.
2: Om precies te zijn, E = hc / λ waarin h een constante is met grootte 6.63 • 10-34 J•s en c de lichtsnelheid is (3.00 • 108 m/s).
