Het biljartspel poolen wordt steeds populairder in Nederland. In het spel is het de bedoeling om met de keu de witte bal een stoot te geven zodat deze een gekleurde bal weg speelt. Ballen botsen tegen de zijkant (band) van de tafel en tegen elkaar. Een beetje ervaren pooler weet wat het resultaat is na zo’n botsing, maar waarom??? Dat weten de natuurkundigen…
Bal tegen Band
De keu speelt de witte bal en deze bal rolt naar de zijkant van de pooltafel. Bal en band botsen en vervolgens rolt de bal de andere kant uit. Om deze botsing natuurkundig te bekijken versimpelen we de situatie door een paar aannames te doen.
- Er is geen wrijving tussen bal en tafel of tussen bal en band. Dit lijkt in eerste instantie niet onredelijk, omdat het doek van de pooltafel zo is gekozen dat de bal zo min mogelijk afremt.
- Er is sprake van een volkomen elastische botsing. Een elastische botsing houdt in dat er tijdens de botsing geen kinetische energie verloren gaat. Dit betekent in ons geval dat we de warmte die tijdens de botsing door de bal en band wordt afgegeven verwaarlozen. Dit mag omdat de wrijving zo klein is; er wordt (onmerkbaar) weinig energie omgezet in warmte.
- De bal is een puntmassa. Om makkelijker te kunnen rekenen hebben natuurkundigen puntmassa’s bedacht. Puntmassa’s hebben geen dimensie; geen hoogte, geen breedte en geen lengte. Punt massa’s hebben wel een massa; in ons geval de massa van een bal. Eigenlijk gaan we er dus vanuit dat de bal geen vorm heeft en dat al zijn massa geconcentreerd is in het midden van de bal, op één oneindig kleine punt.
Om vervolgens iets natuurkundigs te kunnen zeggen over de botsing gebruiken we de derde wet van Newton. De kracht van voorwerp A op voorwerp B is even groot, maar in tegengestelde richting als de kracht van voorwerp B op voorwerp A.
Oftewel, onze bal stoot tegen de band aan en tegelijkertijd geeft de band een klap terug. Als dit niet gebeurde zou de bal dwars door de band heen gaan!
Snelheid is een vector: het heeft een grootte (bijvoorbeeld 1 m/s) en een richting. Een vector is op te delen in twee vectoren die loodrecht op elkaar staan. Dit is te zien in bovenstaand figuur. De vector v is hier opgedeeld in de vectoren vn en vt. vn staat loodrecht op de band en vt is juist parallel aan de band. De snelheid loodrecht op de band is de snelheid die de kracht op de band veroorzaakt. De reactie kracht zorgt er vervolgens voor dat deze snelheid een omgekeerde richting krijgt. Ook hebben we gezegd dat de kinetische energie van de bal voor en na de botsing gelijk is (aanname 2).
Aangezien de massa van de bal tijdens de botsing niet verandert moet het kwadraat van de snelheid voor de botsing gelijk zijn aan het kwadraat van de snelheid na de botsing. Dit kan alleen als de snelheid van de bal enkel van richting verandert en in grootte gelijk blijft:
Waar v' staat voor de snelheid na de botsing.
De snelheid van de bal parallel aan de band krijgt geen kracht te verduren: deze snelheid verandert dus niet! (Newtons eerste wet)
Uit de figuur is vervolgens af te leiden dat de hoek tussen de richting van de bal en een lijn loodrecht op de band even groot is of de bal nu komt of gaat.
Dit is makkelijk uit te proberen in een poolcafé bij je in de buurt…
Bal tegen bal
Voor de botsing tussen twee ballen doen we dezelfde aannames als bij de botsing tussen bal en band. Newton heeft zijn derde wet gebruikt om een wet af te leiden die nog algemener toe te passen is: de wet van behoud van impuls. Deze luidt: als er geen externe kracht werkt op een systeem, blijft de totale impuls behouden. Impuls wordt aangeduid met de letter p en staat voor het product van massa en snelheid.
De wet van behoud van impuls geeft:
Waar subscript 1 voor bal 1 staat en subscript 2 voor bal 2. v is de snelheid voor de botsing en v’ de snelheid na de botsing. Gebruik makend van dezelfde notatie maakt de wet van behoud van kinetische energie tot:
Voor de botsing rolt alleen de witte bal, bal 1. Beginsnelheid van bal 2 is dus gelijk aan 0 De massa’s van beide ballen zijn gelijk. Uit beide formules kunnen de massa’s tegen elkaar weg gestreept worden en v2 verdwijnt. Dus:
en
Om deze twee formules te combineren lijkt het makkelijk om v1 te kwadrateren. Alleen dat kan niet zomaar met vectoren! Omdat vectoren een richting hebben is er een speciale manier om vectoren te vermenigvuldigen met als uitkomst een gewoon getal. Dit hebben we nodig omdat kinetische energie niet af hangt van de richting van de snelheid. Vandaar ook dat de vector tekens in de kinetische energie formules ontbreken. Deze speciale manier van vermenigvuldigen heet het inwendig product. Het inwendig product van v1 met zichzelf is:
waar Θ de hoek is tussen de twee snelheden na de botsing. (Op internet is veel informatie te vinden over het inwendig product, maar voor je examen hoef je er niets over te weten.)
Nu hebben we twee formules van v12 die niet geheel aan elkaar gelijk zijn terwijl dat natuurlijk wel moet. Daarom kan het niet anders dan dat het laatste gedeelte van het inwendig product nul is:
Er zijn drie manieren waarop deze formule nul is.
- v'1 = 0. De witte bal komt stil te liggen en alle kinetische energie is opgenomen door bal 2.
- v'2 = 0. De witte bal geeft geen van zijn kinetische energie aan bal 2 en rolt dus vrolijk door. Kan dit?
- cos(Θ ) = 0. Dit is wat er meestal gebeurt: beide ballen hebben een snelheid na de botsing, maar cos(Θ) = 0. Dit is waar wanneer Θ 90° is.
Conclusie
We hebben bewezen dat wanneer de bal tegen de band stoot de hoek van inval nagenoeg gelijk is aan de hoek van uitval. En als een rollende bal tegen een stilstaande bal aan rolt is de hoek tussen de snelheden van de ballen na de botsing zo goed als gelijk aan negentig graden, of komt 1 van de ballen tot stilstand. Let hier op wanneer je aan het poolen bent!
