Dag Sybille,

Ik weet niet waarvoor je dit in rekening moet brengen, maar héél de massa trilt, alleen nabij het ophangpunt is de amplitude nagenoeg nul, en nabij het trillende massablokje is dat nagenoeg de volle amplitude.

kun je hier al mee verder?

Groet, Jan 

In theorie kun je een veer in kleine stukjes opbreken. Bijvoorbeeld op 1/10 vanaf het bevestigingspunt "hangt"een massa van 9/10 van de veer. Je zou dus de veer een lengte van 1/10 kunnen denken waaraan een puntmassa van 9/10 hangt. Evenzo geldt dit bij andere punten van de veer - telkens is het "onderhangende deel" te beschouwen als een massa hangend aan dat bovendeel.

Om dat goed uit te rekenen heb je wat differentiaal/integraalrekening nodig. De vraag is of jullie zover moeten gaan. Als namelijk de massa van de veer  gering is t.o.v. de massa die onderaan hangt dan is de afwijking door de veermassa zelf heel klein.

Hey Theo en Jan,

Bedankt voor het antwoord.

De massa van de veer is 45 g en de massa die er aan hing zo'n 70 g, het lijkt mij dus wel belangrijk hiermee rekening te houden...

Bovendien zijn we (toch ongeveer) op een zodanig niveau beland dat we die differentiaalrekening wel aan zouden moeten kunnen. Het werd namelijk ook aan ons gevraagd hier iets over op te zoeken.

Dus Theo, het lijkt wel alsof je er iets van af weet, dus kan je me iets meer vertellen over hoe die differentiaalvergelijking er juist uit ziet?

En Jan, ik snap inderdaad dat heel de massa die aan de veer hangt trilt, wij mochten er echter niet van uitgaan dat de veer zelf massaloos was en dus gewoon verwaarlozen. Zoals je ziet was de veer 45g en de massa er aan 70g, de massa van de veer zal dan toch iets of wat meespelen in de harmonische beweging. Het is enkel niet AL de massa die meespeelt, maar daar een bepaald deel van.

Groetjes,

Sibylle

Dag Sibylle,
Het deel van de veermassa dat je in rekening moet brengen, kun je mooi zelf experimenteel bepalen. Bij voorbeeld door verschillende massa's een voor een aan een veer te bevestigen en de periode van het systeem te meten. De rechte grafiek van T kwadraat als functie van de aangehangen massa zal niet door de oorsprong gaan. De asafsnijding geeft informatie over het deel van de veer dat je in rekening moet brengen. Deze bepaling van het gevraagde deel kun je verbeteren met lineaire regressie (kleinste-kwadratenmethode).
Meer informatie: www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/nawi.inst.220/lehre/PhysII_WS2007/spring.pdf
Het bovenstaande gaat over een vrije, niet de door jou genoemde gedwongen trilling.
Groeten,
Jaap Koole

Bedankt, ik denk dat ik hier veel mee ben!

Ik ga het ineens uitproberen :)

Dag Sybille,

Een beetje latere reactie voor mocht je nog willen integreren (daar moest ik ook weer even over nadenken):

Stelling:

Als de massa van een veer niet verwaarloosd mag worden dan kunnen we berekenen dat de massa M van de veer effectief voor 1/3M (= m_eff,veer) meetelt bij het eraanhangende trillende voorwerp van massa m. Dit doe je door de kinetische energie van de veer zelf te berekenen, die ook ½ mv² is maar waarbij de massa m de effectieve massa is van de hele veer omdat niet elk massa-deel ervan evenveel energie heeft.

Bewijs: 

Om dat aan te tonen moet je wel een paar dingen aannemen:

• de veer is gelijkmatig gewonden - d.w.z. een constant aantal "wikkelingen" per lengte-eenheid
• de veer heeft een constante massa-dichtheid

Stel de veer heeft een massa M en een lengte L in onbelaste toestand. De lengte L is de lengte van de veer - niet de (uitgetrokken) lengte van de draad waaruit de veer bestaat. Je kunt dan een massa-per-lengte-eenheid definiëren als

σ = M/L

Een klein stukje veer (met lengte Δy) heeft dan een massa van Δm = σ. Δy

De snelheid van de onderkant van de veer is op enig moment gelijk aan v . De snelheid van de bevestigde bovenkant van de veer is (altijd) nul.

We nemen aan dat de snelheid tussen boven- en onderkant van de veer lineair toeneemt van v(0) = 0 tot v(L) = v langs een afstand van 0 tot L vanaf de bovenkant, zodat de snelheid v_y op afstand y van de vaste bovenkant gelijk is aan

v_y = v . (L-y)/L

De bijdrage van dat kleine stukje veer op afstand y van boven en met massa Δm = σ. Δy aan de kinetische energie is ΔU_kin en daarmee:

ΔU_kin = ½ Δm . v_y² = ½ σ. v_y² . Δy

Voor heel kleine stukjes Δy schrijven we dy en dan krijgen we de differentiaalvergelijking:

dU_kin = ½ σ. v_y² dy

Vul je voor v_y de eerder gevonden formule in:

dU_kin = ½ σ. v² .(L-y)²/L² dy

De totale kinetische energie van de veer zelf is dan de som (integratie) van alle kleine beetjes dU_kin opgeslagen in de stukjes veer met dikte dy tussen de afstand 0 en L:

∫ dU_kin = ∫ ½ σ. v² (L-y)²/L² dy

Voor de linkerkant van het gelijkteken wordt de integratie van 0 tot U_kin:

∫ dU_kin = [ dU_kin]₀^U_kin = U_kin - 0 = U_kin

Dit resultaat zal je niet verwonderen... Maar nu de andere helft. 

Voor de rechterkant van het gelijkteken is de integratie van 0 tot L en kunnen we constanten alvast voor het integratieteken halen:

½ σ. v²/L² ∫ (L-y)² dy

en dan de integratie uitvoeren tussen afstand y=0 en y=L . Die integratie is feitelijk het "moeilijkste" deel van de berekening, maar gelukkig kun je de primitieve integraal voor (c - x)² opzoeken in een wiskundetabellen-handboek (en daarmee hoort het niet tot VWO stof) :

∫₀^L (L-y)² dy = [ L²y + y³/3 - 2Ly²/2 ]₀^L

∫₀^L (L-y)² dy = (L³ + L³/3 - 2L³/2) - (0 + 0/3 - 0/2) = L³ + L³/3 - L³ = L³/3

waarmee ( bedenk dat de massa van de veer gelijk is aan M = σ.L)

½ σ. v²/L² ∫ (L-y)² dy = ½ σ. v²/L² . L³/3 = ½ σ. v² L/3 = ½ Mv²/3 = ½ m_eff,veer v²

De massa M van de veer "doet mee" voor M/3 waarbij rekening is gehouden met het feit dat niet elk massa-deeltje van de veer evenveel uitwijkt en snelheid maakt en evenzo niet op elke lengte y van de veer evenveel veermassa trekt aan het erbovenhangende deel van de veer.

zodat meff,veer = M/3

dag Theo,

Volgens mij klopt je antwoord aan Sybille "de massa van de veer telt voor 1/3 mee", niet.

In je afleiding nerem je een lineaire massadichheid aan. \dit is echter niet juist omdat er aan hogere windingen meer windingen, dus meer massa hangt neemt de de afstand tussen de windingen toe in de richting van het ophangpunt, dus neemt de massa per lengteeenheid af. 

De factor is in het algemeen groter dan 1/3.

Ik heb hiervoor een model ontwikkeld dat deen ander antwoord geeft op de door ybille gestelde vraag.

Heb je interesse, dan wil ik je het graag mailen.

Met vriendelijke groet,

Koos Slagter

Dag Koos,

Strikt genomen heb je gelijk.

Maar de veren die bij dit soort beschouwingen gebruikt worden  zijn veren die relatief weinig uitrekken t.o.v. hun onbelaste lengte. Zoals de ideale massa-loze veer ook. Dan mag je dat soort aannamen maken. Maar ik geef toe dat die aannamen vaak niet expliciet genoemd worden (ik deed het ook niet).

Rekken ze heel erg uit (en zoals je zegt, niet overal even veel waardoor de massa niet gelijkmatig als M/L mag worden genomen maar iets wijzigt met L ) dan is een andere benadering nodig die computergewijze wel uit te rekenen is (numeriek integreren), maar zich wiskundig niet of moeilijk in een formule laat vangen.  Jouw model houdt daar blijkbaar rekening mee.

Dag Theo,  

Als je jouw benadering toepast, maar wel rekening houdt met het  gewicht van de veer (windingen), dan vind je niet 1/3 maar       1/3+ X/(6L)+ (X.X)/(30.L.L.),   waarbij geldt:

X is de verlenging van de veer ten gevolge van zijn eigen gewicht, dus het verschil in lengte tussen de hangende en liggende onbelaste veer.

L is de totale  lengte van de veer.

L= Lh+X+U, Lh is lengte van de liggende onbelaste  veer, U is de uitrekking ten gevolge van belasting met Massa M.

L= Lh+ (mveer.g)/(2C) + (M.g)/C en C is veerconstante.