Lees onderstaand artikel
In het molecuul waterstofjodide (HI) is het kleine waterstofatoom gebonden aan het grote jodiumatoom. De evenwichtsafstand tussen de twee atomen is 1,609 ⋅ 10−10 m. Als deze afstand groter of kleiner wordt, zorgt de binding voor een terugdrijvende kracht die in eerste benadering recht evenredig is met de uitwijking van de evenwichtsstand. Een model om het molecuul te beschrijven is een massa-veersysteem, waarbij het waterstofatoom trilt, het jodiumatoom stilstaat en de binding beschouwd wordt als een veer.
In het klassieke model van een harmonisch trillend systeem zijn alle energietoestanden mogelijk. Kijkt men echter naar het spectrum van waterstofjodide, dan blijkt dat geen continu spectrum maar een lijnenspectrum te zijn: om dat te begrijpen is een quantumfysisch model nodig!
Opgaven
De trillingsfrequentie f van dit massa-veersysteem is 6,92 ⋅ 1013 Hz. Hiermee kan met het klassieke model de veerconstante berekend worden.
a) Voer die berekening uit.
In figuur 2 is de klassieke waarschijnlijkheidsverdeling P(u) van het trillende H-atoom in het massa-veersysteem gegeven met amplitude A = 5,54 ⋅ 10−11 m.
Uit de oppervlakte tussen twee posities onder de waarschijnlijkheidsverdeling is het percentage van de tijd te berekenen dat een trillende massa zich tussen die twee posities bevindt.
b) Voer de volgende opdrachten uit:
- Geef aan waarom P(u) een minimum heeft voor u = 0 en maximaal is
voor u → ± A.
- Leg uit hoe de waarschijnlijkheidsverdeling P(u) in breedte en hoogte verandert als de totale energie van het systeem groter wordt.
Het spectrum van waterstofjodidegas is een lijnenspectrum. In dit spectrum zijn onder andere drie lijnen te zien. Zie figuur 3.
Dit lijnenspectrum is niet te verklaren met het klassieke model van het massa-veersysteem. Blijkbaar heeft het HI-molecuul discrete energieniveaus.
Uit het spectrum van figuur 3 kan men het energie-niveau-schema van HI afleiden. Dit is in figuur 4 weergegeven. De energieniveaus worden aangegeven met de quantumgetallen n = 0, 1, 2, … .
c) Voer de volgende opdrachten uit:
- Leg uit hoe uit figuur 3 volgt dat de afstand tussen de energieniveaus in figuur 4 constant is.
- Bepaal de waarde ΔE = E1 − E0 in eV.
- Teken in een print van figuur 4 een overgang die hoort bij lijn B van figuur 3.
Het is mogelijk om een quantumfysisch model van HI op te stellen, waarbij het trillende H-atoom beschreven wordt als een deeltje in een één-dimensionale energieput. De afstanden tussen de energieniveaus hangen af van de eigenschappen van de energieput.
We vergelijken de afstanden van de energieniveaus bij HI met de afstanden in twee andere quantumfysische modellen.
d) Voer de volgende opdrachten uit:
- Geef aan hoe in het quantummodel van een energieput met oneindig hoge wanden de energieniveaus ten opzichte van elkaar liggen.
- Geef aan hoe in het quantummodel van een (elektron in een) vrij waterstofatoom de energieniveaus ten opzichte van elkaar liggen.
- Geef aan waarom beide modellen niet kunnen gelden voor HI.
In de quantumfysica is het uitgesloten dat het waterstofatoom in het molecuul HI helemaal stilstaat.
e) Leg dit uit met behulp van de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Voor een massaveersysteem geldt:
$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}} \rightarrow C = \frac{4\pi^2 m}{T^2} = 4\pi^2 m f^2$
Hierin is m de massa van het H-atoom, gelijk aan 1,673 ⋅ 10-27 kg.
Invullen geeft:
$C=4\pi^2\cdot 1,673\cdot 10^{-27}\cdot (6,92\cdot 10^{13})^2=316~\mathrm{Nm}^{-1}$
Uitwerking vraag (b)
- Het waterstofatoom heeft zijn maximale snelheid voor u = 0. Aangezien hij daar het snelst beweegt, is de kans het kleinst dat je het deeltje daar aantreft. Als het deeltje richting +A of -A gaat, is zijn snelheid juist erg klein. Hij zal dus relatief lang in de buurt van deze uitersten posities zijn. Hier is de waarschijnlijkheid dat je het deeltje aantreft dus het grootst.
- Als de totale energie van het systeem groter wordt zou het deeltje verder weg van de evenwichtsstand kunnen komen. De breedte van de waarschijnlijkheidsverdeling zal dus toenemen. Aangezien het deeltje op meer plekken gevonden kan worden, zal de kans overal iets kleiner zijn. De hoogte van de waarschijnlijkheidsverdeling zal dus afnemen.
Uitwerking vraag (c)
- Voor de frequenties zien we in figuur 3 dat ze allemaal veelvouden van hetzelfde getal zijn. De relatie E = hf zegt ons dan dat de mogelijke energieën ook een veelvoud van één getal zijn. De afstand tussen de energieniveaus is dan dus constant.
- Het verschil tussen twee opvolgende energieniveaus is 0,68 ⋅ 1014 Hz. De bijhorende energie is:
$E_f=hf=6,626\cdot 10^{-34}\cdot 0,68'\cdot 10^{14} = 4,51\cdot 10^{-20}~\mathrm{J}=0,28~\mathrm{eV}$ - De frequentie van lijn B is twee keer zo groot als de frequentie van lijn A. De energie is dan dus ook twee keer zo groot. Dat kan op twee manieren:
Uitwerking vraag (d)
- De energieniveaus in een energieput met oneindig hoge wanden liggen steeds verder uit elkaar voor grotere n.
- De energieniveaus in een vrij waterstofatoom komen steeds dichter bij elkaar te liggen.
- Aangezien de energieniveaus voor HI op dezelfde afstand blijven liggen zijn beide modellen dus niet toe te passen op HI.
Uitwerking vraag (e)
Als het deeltje helemaal stilstaat, zou de onzekerheid in de snelheid (en dus de impuls) 0 zijn. Aangezien het deeltje ergens in het atoom kan worden aangetroffen, is de onzekerheid in de positie niet oneindig groot. Er geldt dan:
$\Delta x \Delta p = 0$
Dit is in strijd met de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg.
