6. Lengtekrimp

Hoe meet je eigenlijk afstanden?

We hebben al opgemerkt dat bij het meten van afstanden gelijktijdigheid een belangrijke rol speelt. Als je bijvoorbeeld in je laboratorium een lengte wilt opmeten met een meetlat, moet je natuurlijk wel op het zelfde moment begin en eindpunt opmeten. In mijn eigen laboratorium kan ik dus probleemloos afstanden opmeten. Maar voor een bewegende waarnemer is dat niet zo simpel. Mijn klokken lopen voor hem niet gelijk!

Een oplossing is om de waarnemer een lengte in mijn laboratorium te laten meten, met gebruik maken van van zijn eigen klok! Dat kan door gebruik te maken van het feit dat beide laboratoria elkaar met een constante snelheid v passeren.

• In mijn laboratorium bevindt zich een meetlat met lengte l.
• De waarnemer heeft een klok bij zich en terwijl hij het beginpunt van de lat passeert leest hij zijn klok af, en nog een keer bij het passeren van het eindpunt.
• Laat het tijdsverschil tussen de twee metingen gelijk zijn aan Δt.
• De waarnemer concludeert dat de lengte l' van de meetlat dan gelijk moet zijn aan vΔt, immers de passeersnelheid is v.
• De vraag is nu, is l' gelijk aan l ?
• Het antwoord is : nee, hij komt uit op een waarde, kleiner dan l.

Ik zie namelijk in mijn laboratorium dat hij inderdaad de klok indrukt bij het passeren van begin en eindpunt. Maar het door mij waargenomen tijdsverschil is, ten gevolge van de tijdrek, niet gelijk aan Δt, maar groter, namelijk Δtγ. Over de snelheid zijn we het eens, die is v, dus geldt dat l = Δtγ , dus vΔt = l/γ

Conclusie: de waarnemer neemt een lengte l' waar die een factor gamma kleiner is dan de lengte l.

Ook hier geldt het omgekeerde, vanuit mijn laboratorium neem ik waar dat de lengtes in het laboratorium van de waarnemer met een factor 1/γ verkort zijn. Het verschijnsel wordt lengtekrimp (Lorentz contraction) genoemd.

Muonen kunnen ook dit verschijnsel illustreren. Vanuit het 'muonlaboratorium' gezien, is de aardse dampkring door de lengtekrimp ingekort tot hooguit enkele honderden meters, zodat de kortlevende muonen toch het aardoppervlak bereiken kunnen.

Zelf bewijzen? Volg deze link en maak zelf het sommetje.

Opmerkingen

Opmerking 3:
Tijdrek en lengtekrimp zijn onlosmakelijk met elkaar verbonden! Beschouw bijvoorbeeld een raket die met 0,6 c naar een ster reist op 3 lichtjaar afstand van de aarde.

• Een aardse waarnemer ziet dat de raket na 3/0,6 = 5 jaar (op zijn eigen klok gemeten) bij de ster arriveert, maar dat door tijdrek de klok in de raket slechts 5/1,25 = 4 jaar vooruit is gegaan.
• De waarnemer in de raket ziet de afstand van 3 lichtjaar verkort tot 3/1,25 = 2,4 lichtjaar, zodat hij na 2,4/0,6 = 4 jaar bij de ster arriveert.
• Beiden zijn het er dus over eens dat de reis van de raket geen vijf, maar slechts vier jaar duurt.

Dit is een van de verbazingwekkende resultaten van de relativiteitstheorie.

Opmerking 4:
De waarnemer in de raket ziet op zijn beurt de klokken op aarde trager lopen met een factor 1,25. Dus de klok op aarde loopt dus voor hem gedurende zijn vierjarige reis slechts 4/1,25 = 3,2 jaar verder. Maar dit lijkt niet te kloppen met de 5 jaar die de waarnemer op aarde ziet passeren gedurende de reis!

Laten we aannemen dat ook op de ster een klok staat die gelijkloopt met de aardse klok. De reiziger stapt na vier jaar uit bij de ster. Wat wijst de sterklok dan aan? Om die vraag te beantwoorden, gaan we nauwkeuriger naar het probleem van de gelijktijdigheid kijken.