Een opgave van de redactie van Stichting Exaktueel. Op basis van artikelen in de media worden opgaven gemaakt die te gebruiken zijn bij het natuurkunde onderwijs in het voortgezet onderwijs.
Opgave
In het NRC Handelsblad schrijft Karel Knip in december 2008 over zwaartekrachtmetingen die de dreiging van smeltwater uit Groenland of Antarctica moeten berekenen. Deze metingen moeten duidelijk maken of de Hollandse lage kusten werkelijk bedreigd worden door dit smeltwater, of juist bedreigd worden door het uitzetten van warm water. Een thuiswerker zou volgens Knip direct willen aantonen dat zware massa’s elkaar aantrekken. Die kracht zou dan gemeten kunnen worden. Helaas is deze meting met huishoudelijke middelen niet haalbaar.
Voor de meting hanteerde Cavendisch in 1797 enorme loden kogels. Maar hij moest hiermee flinke toeren uithalen voor een goed resultaat. Een amateur onderzoekt slechts de aantrekking tussen de gehele aarde en een willekeurig voorwerp. Maar dat is niet helemaal voldoende. Eigenlijk meet hij geen kracht, maar een versnelling. Het gaat om de zogenoemde valversnelling g. Hierbij moet de amateuronderzoeker een tijdsverloop registreren.
In een bericht over het slingeruurwerk van Huygens stond zes jaar geleden al wat schaarse informatie over de ‘vingervlugheid’ tijdens de bouw van een mathematische slinger om g te bepalen. De bepaling van g gebeurt met een gewicht aan een koord.
Toentertijd werd een waarde van 9,82 geregistreerd met de mathematische slinger. Deze slinger bestaat uit een loden gewichtje aan een dunne koperen draad. Knip voerde het experiment weer uit, met een slingerlengte van circa 1,875 meter, en slingertijd T van 2,73 seconde. Het resultaat was iets minder gunstig: 9,9.
Als men niet zorgvuldig werkt gaat de slinger spoedig rondjes maken, of beter gezegd conisch slingeren. De heen-en-weer beweging van de conische slinger is echter sneller dan die van de rechte slinger met dezelfde lengte, die zich beweegt in een plat vak. Een mogelijkheid is dat de geregistreerde slingertijd iets te laag was. Middels een proef werd echter gemakkelijk duidelijk, dat dit niet veel uitmaakt. De meeste onnauwkeurigheid ontstond door het meten van de slingerlengte.
De klassieke slingerformule voor voldoende kleine uitslagen luidt: de slingertijd T = 2π√(l/g) waarin l de lengte en g de valversnelling is. Hierin is π =3,14 en g=9.8. Dit is te vergemakkelijken met de formule T = 2√l.
Dit betekent dat een meterlange slinger in twee seconden heen en weer slingert: de ene seconde heen, de volgende seconde terug. Een meterlange slinger is hiermee een secondetikker. Hieraan verbonden rees de vraag, met betrekking tot die bepaalde katrol: Is hier sprake van een vreemd toeval, of is de meter met deze lengte bewust gekozen? Het correcte antwoord zou in het midden liggen.
Franse onderzoekers die hierover een eindbesluit namen, overwegen werkelijk om de meter met een slinger aan de seconde te koppelen. Ze ontdekten echter dat niet op elke plaats de zwaartekrachtsversnelling even groot is. Ze gaven aan de meter een definitie die bepaalde dat het een tienmiljoenste deel van de afstand tussen evenaar en pool is. Dit verklaart dat de omtrek van de aarde precies evenredig is aan veertigduizend kilometer, ongeveer.
De betreffende katrol was een AW-versie van een toestel van Atwood. Dit was afkomstig van de Atwood machine. Dominee Atwood had in 1784 deze truc bedacht om de val van een gewicht, dat valt, te vertragen door een ander gewicht. Hiermee is de valversnelling gemakkelijker te meten. Als het ene gewicht drie ons weegt, en het andere een ons, dan zal het drie ons wegende gewicht met de helft van de valversnelling omlaag zakken.
Hierbij gaat het andere gewicht vanzelfsprekend even hard omhoog. De spankracht in het koord links en rechts is bij het vallen hetzelfde. Dit was een conclusie van een internetsite, die door AW zou zijn geloofd, volgens Knip. Toch ontstond er aarzeling. Als bij de start van de valproef de katrol even wordt vastgehouden, zal de spankracht in het koordgedeelte boven het zwaarste gewicht het hoogst zijn.
Dan zou echter deze spankracht moeten afnemen, als de katrol loskomst. Dit is slechts haalbaar als het zware gewicht weer omhoog komt. Als het koord uitgevoerd acht in elastiek, is dit nog het meest invoelbaar. De AW-redactie besloot de proef ook uit te voeren, met Hema-elastiek. Hieraan wil de redactie niet herinnerd worden.
Vragen en opdrachten
Het toestel van Atwood zie je op de foto.
Voor de versnelling geldt de volgende formule: a = [(m1 - m2)/(m1+m2)]g.
a) Leid deze formule af.
b) Toon aan dat in het geval van het artikel geldt: a = 0,5g.
De spankracht is tijdens de beweging gelijk. In dit geval is die gelijk aan 1,5 N.
c) Toon dat met een berekening aan.
Tip: beschouw de twee krachten op één van de blokjes, als dat versnelt met a = 0,5g. (Het geeft niet welk blokje je neemt: de uitkomst is natuurlijk gelijk.)
In de laatste alinea staat iets over de spankracht, als de blokjes nog niet bewegen.
d) Ben je het eens met die bewering?
e) Wat vind je van de bewering dat het blokje omhoog moet komen, als ze gaan bewegen?
f) Waarom wilde de redactie de proef met elastiek doen?
g) Wat zal er gebeurd zijn bij de proef met elastiek? Geef je fantasie de ruimte.
Uitwerking vraag (a)
Fres = Fz1 - Fz2 = m1g-m2g=(m1 - m2)g. De totale massa is massa 1 plus massa 2: mtot = m1 + m2. De versnelling is dus: a = Fres/mtot = [(m1 - m2)/(m1 +m2)] . g.
Uitwerking vraag (b)
a = g[(m1-m2)/(m1+m2)] = g[0,20/0,40] = 0,50 g.
Uitwerking vraag (c)
Op het zwaarste gewicht werken twee krachten: Fz en Fs. Hierbij is Fz = 0,300 g Newton.
Er geldt Fres = Fz - Fs. Invullen geeft: 0,30 . 0,50 .g = 0,300 g - Fs. Dus Fs = 0,15 x g = 1,5 N.
Op het lichte gewicht werken twee krachten: Fz = 0,100. g en Fs.
Er geldt Fres = Fs - Fz. Invullen geeft: 0,10 . 0,50 .g = Fs - 0,300 g. Dus Fs = 0,15 g = 1,5 N.
Uitwerking vraag (d)
Dat klopt. Als ze nog niet bewegen (maar wel vrij hangen) is steeds de spankracht gelijk aan de zwaartekracht.
Uitwerking vraag (e)
Dat is onjuist. Op het moment dat ze gaan bewegen wordt de ene spankracht kleiner en de andere groter, omdat de blokjes dan een versnelling hebben.
Uitwerking vraag (f)
Om aan te tonen dat het elastiek korter wordt.
Uitwerking vraag (g)
Ik denk dat het elastiek uitrekte, de blokjes gingen trillen en alle kanten op sprongen.
Meer opgaven van de redactie van Exaktueel kunt u hier vinden.
