Van v,t naar x,t

De beweging die we gaan analyseren

Een speelgoedridder kan uit zichzelf voortbewegen. Door de ridder een stukje naar achteren te halen over een oppervlakte wordt een veer opgewonden. Wanneer je de ridder loslaat drijft de veer de wieltjes aan die onderaan zijn paard zijn ingebouwd. De ridder rijdt weg op zijn paard, met een versnelde beweging. Na enige tijd is de veer helemaal ontspannen, het paard wordt niet meer aangedreven. De enige kracht die nu nog in horizontale richting op de ridder werkt is de wrijvingskracht tussen het tafelblad en de wieltjes van het paard.

De beweging van de ridder en zijn paard wordt gefilmd en hiervan wordt met behulp van videometen in Coach een plaats-tijdgrafiek gemaakt. Deze plaats-tijdgrafiek geven we nog niet aan het begin van deze bijles. Het is in deze bijles juist de bedoeling om met een snelheid-tijdgrafiek te leren werken. We laten Coach deze snelhied-tijdgrafiek van de beweging berekenen en gaan daarmee aan de slag. We gaan kijken of we de originele plaats-tijdgrafiek kunnen maken op basis van de snelheid-tijdgrafiek. Aan het eind van deze bijles controleren we of dit gelukt is.

De eerste analyse van de snelheid tijdgrafiek, zonder te rekenen

In bovenstaande figuur is de snelheid-tijdgrafiek weergegeven. Voordat we hieraan gaan rekenen is het wel goed om alvast een aantal kenmerkende punten te bekijken.

• De grafiek begint met een snelheid nul, de ridder staat stil. Dit betekent dat de x,t grafiek begint met een stuk waarvan de raaklijn horizontaal is.
• Het eerste deel van de snelheid tijdgrafiek is een rechte lijn (tot ongeveer 0,5 s). Op dit deel is de versnelling constant, de plaats-tijdgrafiek is een parabool op dit stuk (afstand is evenredig met t^2)
• De snelheid is maximaal op t = 1,0 s. De plaats-tijdgrafiek gaat tot t = 1,0 s dus steeds steiler lopen.
• Rond het tijdstip t = 1,0 s is de verandering in snelheid minimaal, de snelheid is bijna constant. Dat betekent dat rond t = 1,0 s de plaats-tijdgrafiek bijna een rechte lijn is.
• Vanaf t = 1,0 s neemt de snelheid langzaam af, de plaats-tijdgrafiek gaat steeds iets minder steil lopen.
• De snelheid over het hele traject is positief, de plaats-tijdgrafiek loopt dus wel de hele tijd omhoog (op het ene stuk wat steiler dan op het ander stuk maar het blijft alktijd omhoog gaan).

Berekenen van de etappe-afstanden.

We voeren deze bewerking in enkele stappen uit. Om te beginnen kijken we in de snelheid-tijdgrafiek naar enkele kenmerkende punten. Op basis daarvan delen we de beweging op in enkele etappes en voor elke etappe rekenen we de verplaatsing uit. Daarmee maken we een plaats-tijdtabel met berekende waarden. Deze berekende waarden geven we weer in een grafiek. Tenslotte vergelijken we de grafiek van de berekende waarden met de grafiek van de gemeten waarden.

Wanneer we de snelheid tijdgrafiek bekijken, zien we dat we de beweging kunnen onderverdelen in vier etappes.

Etappe 1
Vanaf t = 0,0 s tot t = 0,5 s is de snelheid-tijdgrafiek vrijwel een rechte lijn. Het oppervlakte onder deze grafiek is een driehoek, waarmee we de verplaatsing kunnen berekenen met x = 1/2 * v_max *Δ t .
Aflezen levert v_max = 1,1 m /s en Δt = 0,5 s zodat we vinden x = 0,275 m.

Etappe 2
Vanaf t = 0,5 s tot t = 1,0 s blijgft de snelheid toenemen. De toename wordt wel steeds minder maar tot aan t = 1,0 s is de beweging versneld. Op t = 1,0 s is de snelheid maximaal. We tekenen een rechthoek in de grafiek waarvan het oppervlakte even groot is als het oppervlakte onder de grafiek. Voor de rechthoek vinden we v = 1,42 m /s en Δt = 0,5 s (1,0 - 0,5 = 0,5). Hiermee berekenen we de verplaatsing met Δx = v *Δt = 1,42 * 0,5 = 0,71 m

Etappe 3
Het gedeelte vanaf de maximale snelheid ( t = 1,0 s) tot het moment dat de versnelling weer constant wordt ( t = 1,2 s). Ook hier tekenen we een rechthoek in de grafiek waarvan het oppervlakte even groot is als het oppervlakte onder de grafiek. We vinden voor deze rechthoek v = 1,52 m /s en Δt = 0,2 s (1,2 - 1,0 = 0,2). De verplaatsing voor etappe 3 komt hiermee op Δx = v *Δt = 1,52 * 0,2 = 0,304 m

Etappe 4
Deze etappe begint met een snelheid v = 1,48 m/s en eindigt met een snelheid v = 0,66 m/s. Omdat de versnelling constant is, is het eenvoudig de gemiddelde snelheid te berekenen. Deze is v_gemiddeld= (1,48 + 0,66) / 2 = 1,07 m/s. De tijdsduur voor deze etappe is *Δ t = 2,5 s - 1,2 s = 1,3 s.
De verplaatsing voor deze etappes is dus Δx = v_gemiddeld *Δt = 1,07 * 1,3 = 1,39 m .

In onderstaande simulatie wordt de berekening stapsgewijs uitgevoerd.

De etappe-afstanden omrekenen naar een plaats-tijdtabel

Nu we de afstanden per etappe weten, kunnen we ook op verschillende tijdstippen de afgelegde weg berekenen. We geven de afstand weer vanaf het tijdstip t = 0,0 s. Omdat dit het begin van de beweging is, stellen we de afstand hier op nul. Het eerste meetpunt dat we hebben is dus (t, x) = 0,0. Etappe 1 begint dus met x = 0,0 m en in deze etappe legt de ridder 0,275 m af (zie berekening eerder in deze bijles). Aan het eind van etappe 1 heeft de ridder dus 0,275 meter afgelegd, dit is ook de afstand aan het begin van etappe 2. In etappe 2 legt de ridder 0,71 meter af zodat aan het eind van etappe 2 een afstand is afgelegd van 0,275 + 0,71 = 0,985. Wanner we ook voor etappe 3 en 4 de afstanden uitrekenen, komen we op onderdstaande tabel.

Omdat we ook de begin en eindtijden van elke etappe weten kunnen we nu eenvoudig een plaats-tijdtabel maken. We komen dan op de onderstaande waarden. Merk op dat we in de berekening niet hebben afgerond, in de tabel nemen we wel het juiste aantal significante cijfers.

Van plaats-tijdtabel naar plaats-tijdgrafiek

De waarden uit de tabel geven we weer in een diagram en wanneer we de berekende waarden hebben ingevoerd, tekenen we ook de originele gemeten waarden in de figuur. In onderstaande simulatie wordt dit stapgewijs uitgevoerd.

Terugkijken op de grafiek

In de simulatie hierboven is de plaats-tijdgrafiek gegeven die correspondeert met de snelheid-tijdgrafiek uit het begin van dit artikel. Op basis van de kenmerkende punten in de snelheid-tijdgrafiek hebben we in het begin van het artikel een aantal uitspraken gedaan. We kijken hier puntsgewijs naar.

• De x,t grafiek begint met een stuk waarvan de raaklijn horizontaal is. De steilheid van de lijn neemt snel toe maar in het begin is de lijn inderdaad horizontaal.
• Op basis van de snelheid-tijdgrafiek is geconcludeerd dat de grafiek in het begin een parabool moet zijn. Daar lijkt het inderdaad op, voor de eerste halve seconde. Het kost wat meer moeite om dat helemaal te bewijzen, dat doen we misschien in een ander artikel.
• De plaats-tijdgrafiek gaat tot t = 1,0 s dus steeds steiler lopen. Dit zien we terug in de grafiek, het punt t = 1,0 s is een buigpunt in de grafiek. De grafiek gaat hier van hol naar bol.
• Inderdaad loopt de plaats-tijdgrafiek de hele tijd omhoog (op het ene stuk wat steiler dan op het ander stuk maar het blijft alktijd omhoog gaan).

Het is uiteraard niet zo verwonderlijk dat al de gegevens die in de snelheid-tijdgrafiek zitten, ook zijn terug te vinden in de plaats-tijdgrafiek. Deze bijles is vooral bedoeld om dit te demonstreren en om de gebruikers te helpen bij het omrekenen van v,t naar x,t. We hopen dat dit een beetje gelukt is.